Примеры практических задач теории телетрафика

 

ЗАДАЧА 1

На коммутационную систему в течение ЧНН поступает 240 вызовов. Средняя длительность занятия приборов каждым вызовом составляет t=120с в предположении, что поток вызовов является простейшим. Требуется определить:

математическое ожидание и дисперсию числа вызовов, поступивших на станцию в течение часа;

интенсивность и параметр потока;

вероятность того, что за среднее время одного занятия t на станцию поступит точно k=5 вызовов - Pk (t) и вероятность поступления не более k вызовов - Pi £ k(t).

РЕШЕНИЕ

Решение задачи основано на использовании распределения Пуассона:

 

 

Математическое ожидание числа поступивших вызовов - М(х) равно интенсивности простейшего потока:

(x) = m = l

 

Так как С - число вызовов за единицу времени С(1), то

(1) = m = l = M(x) =240

 

Дисперсия D(х) равна средней величине квадрата отклонения y=x-M(x):

 

 

При расчете Pk(t) и Pi £ k(t) необходимо определить число вызовов, поступивших за время t - lt:

 

 

lt = 8, k = 5 и k = 6, определим:³5(t)=0,9004 и Рi³6 (t)=0,8088

 

Отсюда получаем соответствующие вероятности:

 

P5(t) = P³5 (t)-Pi³6(t) = 0,0916;£5(t) = 1-Pi³6(t) = 0,1912.

 

ЗАДАЧА 2

На коммутационную систему поступает примитивный поток вызовов с параметром от одного свободного источника a = 0,67 выз/час. Определить вероятность поступления ровно k вызовов Pk на единичном интервале времени (t=1), (k=0,1,2…N) при числе источников нагрузки N, равном 9.

РЕШЕНИЕ

Математической моделью примитивного потока вызовов является распределение Бернулли:

 

 (4)

 

где k - число поступивших вызовов; a - интенсивность нагрузки, поступающей от одного источника, которая связана с a соотношением:

 

 (5)

 

При вычислении вероятностей Pk удобно сначала определить вероятность P0, а затем воспользоваться рекуррентной формулой для вычисления Pk:

 

 (6)

 и т.д.

 

Следует отметить, что

 

 

ЗАДАЧА 3

На двухстороннюю межстанционную линию поступает два простейших потока с параметрами  выз/час, l2=10 выз/час. При занятии линий на противоположный конец передается сигнал блокировки. Время передачи сигнала t=100 мс. Определить вероятность встречного соединения, т.е. одновременного (за время t) поступления вызовов с обоих концов соединительной линии - P2 (t).

 

РЕШЕНИЕ

Решение задачи основано на использовании распределения Пуассона (1). При определении Р2(t) параметр потока l определяется как сумма l1+l2 = 8+10 = 18 выз/час, так как при объединении независимых простейших потоков с параметрами l1,l2,…ln образуется общий поток с параметром l1+l2+…+ln.

 

.

 

ЗАДАЧА 4

Пучок ИШК (АТСК) обслуживает 1000-ю абонентскую группу АТС. Рассчитать поступающую на пучок ИШК нагрузку, если известен структурный состав 1000-ой группы: Nки=300, Nнх=700.

РЕШЕНИЕ

Нагрузка, поступающая на пучок ИШК, определяется по формуле:

=a Pp N C tp, (7)

 

где a - коэффициент, учитывающий непроизводительную нагрузку;

Рр - доля вызовов, закончившихся разговором;- число источников нагрузки;

С - среднее число вызовов одного источника в ЧНН;- средняя продолжительность занятия ИШК одним вызовом при состоявшемся разговоре.

Величина tp определяется по формуле:

 

tp = tcо + tc + tпв + T , (8)

 

где tcо, tc, tпв, T - средние продолжительности соответственно слушания абонентом сигнала "Ответ станции", установления соединения, посылки вызова вызываемому абоненту, разговора, возвращения станционных приборов в исходное состояние после отбоя.

По данным наблюдений на существующих сетях tco = 3 c, tпв = (7 - 8) с. Значения tc, to зависят от системы АТС, в которую включены абонентские линии. В АТСДШ tc = 1,5n, где n - число знаков абонентского номера, tо=1с.

Для АТС координатной системы: tc = 1,5n + 2,5 (10), где 2,5 с - средняя продолжительность работы маркеров при установлении соединения через две ступени группового искания, to = 0.

Величины T, С, Рр определяются по ВНТП 112-99 для ГТС при числе абонентов квартирного сектора

 

; Ски = 1,14; Тки = 110 с; Снх = 4,0; Тнх = 85; Рразг = 0,5.

 

Коэффициент а определяем в зависимости от Рр и Т:

 

aки = 1,21 aнх = 1,25р ки = 3 + 1,5×6 + 2,5 + 7 + 110 = 131,5 ср нх = 3 + 1,5×6 + 2,5 + 7 + 85 = 106,5 с

 Эрл.

 

ЗАДАЧА 5

На коммутационную систему поступает нагрузка от четырех районных станций. Расчетные значения поступающих нагрузок соответственно равны yр1 = 20 Эрл; yр2 = 25 Эрл; yр3 = 30 Эрл; yр4 = 30 Эрл. Эти нагрузки перераспределяются по двум направлениям с долями k1=0,1; k2=0,9. Требуется определить расчетные значения нагрузок, поступающих по двум направлениям и относительные отклонения расчетной нагрузки от средней.

РЕШЕНИЕ

Задача иллюстрирует использование теории расчетной нагрузки при объединении и разделении потоков вызовов в системе коммутации. В случае объединения нагрузки необходимо найти математическое ожидание суммарной нагрузки как сумму математических ожиданий объединяемых нагрузок. При разделении нагрузки по направлениям необходимо определить математическое ожидание нагрузки в данном направлении, а затем найти расчетное значение нагрузки в направлении.

 

 (11)

 

Определяем математическое ожидание нагрузки от станции:

= 17,204 Эрл, y2 = 21,849 Эрл, y3 = 26,527 Эрл.

 Эрл

 

Математическое ожидание нагрузок, поступающим по двум направлениям, определяются:

 

 Эрл

 Эрл

 

По формуле:

 

 (12)

 

Определим расчетные значения нагрузок:

 

Эрл;  Эрл.

 

Относительные отклонения расчетной нагрузки от средней определим по формуле:

 

информация распределение система модель

При решении задачи следует обратить внимание на то, что чем больше математическое ожидание нагрузки, тем меньше относительное отклонение между средним и расчетным значениями нагрузки.

ЗАДАЧА 6

Рассчитать величину возникающей на цифровой АТС нагрузки от абонентов следующих категорий:

индивидуального пользования Nи = 2000;

народно - хозяйственного сектора ''делового'' Nнд = 3000;

народно - хозяйственного сектора ''спального'' Nнс = 2000;

таксофонов местной связи Nт.мест. = 150;

таксофонов междугородных (исходящая связь) Nт.межд.= 15;

районных переговорных пунктов (РПП) Nрпп= 40;

исходящих СЛ от УАТС (на правах абонентов) Nсл= 40;

факсимильных аппаратов (соединения по телефонному алгоритму) Nф= 50;

абонентов ЦСИО с числом доступов:

типа 2В+D = 35;

типа 30B+D = 4;

При определении возникающей нагрузки следует учесть нагрузку на ЗСЛ и УСС. Нумерация на сети шестизначная.

Указания к решению задачи

Согласно ВНТП 112 - 99, расчет возникающей нагрузки производится отдельно для утреннего и вечернего ЧНН, после чего среди них выбирается максимальное значение, которое принимается за расчетную нагрузку.

Расчет утреннего ЧНН:

утр = Yi утр ЧНН + Yi утр время ,

 

где Yi утр ЧНН - суммарная нагрузка для всех i категорий абонентов, имеющих максимальный ЧНН - утренний;

утр ЧНН = Ni* Yi ,

 

где Ni - число источников категории I;- интенсивность удельной нагрузки абонента i-ой категории;утр время - добавочная суммарная нагрузка, создаваемая во время утреннего ЧНН, абонентами тех категорий j, которые имеют ЧНН не утренний, а вечерний.

 

,

 

где Yj веч ЧНН - суммарная нагрузка (Nj*Yj) для j категорий абонентов, имеющих максимальный ЧНН вечерний.

веч ЧНН= Yj * Yj ,

 

где Nj - число абонентов категории j, имеющие вечерний ЧНН;- интенсивность удельной нагрузки абонента категории j, имеющего вечерний ЧНН;

К - коэффициент концентрации нагрузки (0,1);

Т - период суточной нагрузки (можно принять равным 16 часам);

Тогда окончательно:

 

 

Аналогично рассчитывается нагрузка в вечерний ЧНН:

веч=Yj веч ЧНН+Yi веч время ,

 

Если абоненты конкретной категории не имеют ярко выраженного ЧНН, то их нагрузка входит как в Yутр ЧНН, так и Yвеч ЧНН. Нагрузку, создаваемую таксофонами с дневным ЧНН, следует относить к максимальному ЧНН (утреннему или вечернему).

Решение

Исходные данные для расчета используем из таблицы 1.

 

Таблица 1 - Исходные данные

Категория абонентов	Y, Эрл	Время ЧНН
1. Индивидуального пользования	0,022 0,030	Утр. ЧНН Веч. ЧНН
2. Народно - хозяйственного ''деловой'' ''спальный''	0,07 0,03	Утр. ЧНН, веч. время Веч. ЧНН, утр. время
3. Таксофон местной связи	0,2 0,27	Дневной ЧНН Веч. ЧНН
4. Таксофон междугородный	0,65 0,65	Дневной ЧНН Вечерний ЧНН
5. РПП	0,6	Веч. ЧНН, утр. время
6. Исход. СЛ от УАТС (на правах абонентов)	0,15	Утр.ЧНН, веч. время
7. Факс по ТЛФ алгоритму	0,15	Утр.ЧНН, веч. время
8. Абонент ЦСИО 2B+D 30B+D	0,5 21	Утр. ЧНН, веч. время Утр. ЧНН, веч. время

 

Определяем нагрузки для секторов:

Индивидуальный сектор:

утр ЧНН = N1Y1 = 2000*0,022 = 44 Эрлвеч ЧНН = N1Y11 = 2000*0,03 = 60 Эрл

 

Народно - хозяйственный сектор: ''Деловой'':

утр ЧНН = 3000*0,07 = 210 Эрлвеч. вр = 210/1,6 = 131,25 Эрл

 

''Спальный'':

утр ЧНН = 2000*0,03 = 60 Эрлвеч. вр = 60/1,6 = 37,5 Эрл

 

Таксофоны местные:

дн ЧНН = 150*0,2 = 30 Эрл

 

Таксофоны междугородные:

дн ЧНН = 15*0,65 = 9,75 Эрл

 

Районные переговорные пункты (РПП):

веч ЧНН = 40*0,6 = 24 Эрлутр. вр. = 24/1,6 = 15 Эрл

 

Исходящие соединительные линии от УАТС:

утр ЧНН = 40*0,15 = 6 Эрлвеч. вр.= 6/1,6 = 3,75 Эрл

 

Факсы:

утр ЧНН = 50*0,15 = 7,5 Эрлвеч. ЧНН = 7,5/1,6 = 4,69 Эрл

 

Абоненты ЦСИО:

 

B+D:утр ЧНН = 35*0,5 = 17,5 Эрлвеч. вр = 17,5/1,6 = 10,94 Эрл

B+D:

 

Y9 утр ЧНН = 4*21 = 84 Эрл, Y9 веч. вр = 84/1,6 = 52,5 Эрл

 

В соответствии с изложенной выше методикой определяем Yутр и Yвеч:

 

 Эрл

 Эрл

 

Относя нагрузку в дневной ЧНН таксофонов обоих типов к величине Yутр, имеем:

утр = 421,5 + 30 + 9,75 = 460,25 Эрл

 

Нагрузка на ЗСЛ, учитывая число жителей в городе, свыше 106 человек:

 

 Эрл

 

Нагрузка на УСС:

УСС = 461,25*0,05 = 23,06 Эрл

 

Таким образом, общая возникающая на АТС расчетная нагрузка равна:

р = Yутр + YЗСЛ + YУСС = 461,25 + 17,4 + 23,06 = 501,71 Эрл

 

ЗАДАЧА 7

На однозвенную полнодоступную КС емкостью υ = 10 линий поступает простейший поток вызовов с параметрами λ1 = 180, λ2 = 300 вызовов в час. Среднее время обслуживания t = 90 сек. Вызовы обслуживаются в системе с явными потерями. Требуется определить:

- вероятность того, что в произвольный момент времени в системе занято точно i линий ( );

среднее число занятых линий - М[i];

построить графики зависимости Pi=f(i);

потери по вызовам - Pв, нагрузке - Pн, времени - Pt;

интенсивность нагрузки, обслуживаемой пучком линий.

Решение

Вероятности Pi в данной модели определяются первой формулой Эрланга

 

 

где Y - интенсивность поступающей нагрузки, Y = λt.

Определим величины Pi для λ1 = 180 выз/час. Для этого целесообразно воспользоваться рекуррентной формулой:

 

 

Поэтому сначала определяем вероятность занятости всех линий пучка Pυ = Eυ(Y), а далее, все остальные значения Pi

 

 Эрл= E10 (4,5) = 0,0105;

 

Аналогично:

=0,0828; P6 =0,128; P5 =0,172; P4 =0,189; P3 =0,168; P2 =0,112; P1 =0,05; P0 =0,019;

 

Среднее число занятых линий:

 

,

 

т.е. чаще всего будут встречаться ситуации, когда в системе занято 4 или 5 линий. Все виды потерь в этой модели равны между собой и равны Pυ = Eυ(Y)

в = Pн = Pt = Pυ = E10(4,5) = 0,0105 (10,5‰)

 

Интенсивность обслуженной нагрузки:

= Y - Yп = Y - YPн = Y (1 - Pн) = 4,5 (1 - 0,0105) = 4,48 Эрл

 

На примере равенства M[i] = Yo пояснить смысл второго толкования телефонной нагрузки. Аналогично проводятся расчеты при λ2 = 300. Для сравнения обе кривые зависимости Pi = f(i) совместить на одном рисунке.

ЗАДАЧА 8

Найти распределение нагрузки по линиям полнодоступного пучка V = 5 линий, на который поступает простейший поток с параметром λ = 1,5. Длительность обслуживания распределяется экспоненциально с β = 1. Поиск с исходного состояния.

Решение

Интенсивность нагрузки, обслуживаемой каждой линией пучка ηi (i=1,5) определяется по формуле:

 

ηi = Y[Ei - 1(Y) - Ei (Y)]

 

Значения Ei (Y) определяются по таблицам Пальма в зависимости от поступающей нагрузки и величины i = .

 

Y = λt = 1,5*1 = 1,5 Эрл;

ηi = 1,5[E0(1,5) - E1(1,5)] = 1,5(1 - 0,6) = 0,6 Эрл;

η2 = 1,5[E1(1,5) - E2(1,5)] = 1,5(0,6 - 0,269) = 0,403 Эрл;

η3 = 0,275 Эрл;

η4=0,12 Эрл;

η5=0,05 Эрл;

 

Величина удельной обслуженной нагрузки при случайном (равномерном) искании определяется как

 

 Эрл

 

ЗАДАЧА 9

На полнодоступный пучок поступает простейший поток вызовов с параметром λ = 300 выз/час. Среднее время обслуживания одного вызова t = 60 с. Определить необходимую емкость пучка при потерях, не превышающих 15%. Указать реально возникающие потери и обслуживаемую нагрузку.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства относительно v:

 

 

При этом удобно воспользоваться таблицами Пальма, при P=0,15 и нагрузке:

 

 Эрл

 

Задаваясь различными значениями v находим v = 10; P = E10(5) = 0,0183, т.е. больше допустимых Y0 = Y(1 - Pн) = 5(1 - 0,00828) = 4,958 Эрл.

 

Заключение

 

Основные результаты курсовой работы состоят в следующем:

. Исходя из библиографических и электронных ресурсов выполнен литературный обзор по теории телетрафика, в рамках которого:

сделан исторический очерк развития теории телетрафика как научной дисциплины;

сформулированы основная цель теории телетрафика и вытекающие из нее задачи анализа, синтеза и оптимизации коммутационных систем;

дан общий анализ существующих математических моделей систем распределения информации и характеристик дисциплины обслуживания.

. Используя доступные литературные и электронные источники проанализированы имеющиеся программы и содержание практических заданий по учебной дисциплине «Теория телетрафика», что дало возможность:

определить общие методы решения прикладных задач теории телетрафика;

подготовить необходимый набор практических заданий по теории телетрафика для использования в учебном процессе.

По подготовленным материалам в последующем планируется разработка учебно-методических материалов по выполнению практических заданий теории телетрафика с помощью системы компьютерной математики Mathcad в учебном процессе для специальности 210401 - «Физика и техника оптической связи».