Мгновенные сосредоточенные источники

Решения метода источников получаются в наиболее простой форме, если область распространения тепла не ограничена, а источник сосредоточен в весьма малом элементе объема.

Мгновенный точечный источник. В начальный момент времени t = 0 в бесконечно малом элементе объема dx dy dz неограниченного теплопроводящего тела, находящегося при начальной нулевой температуре Т0 = 0, сосредоточено количество тепла Q Дж. Теплофизические свойства тела характеризуются коэффициентом теплопроводности λ [дж/см·сек°С], объемной теплоемкостью сγ [дж1см3·°С] и коэффициентом температуропроводности а [смг/сек] эти коэффициенты остаются постоянными во всем теле за все время процесса и не зависят от температуры. Совместим с элементом объема начало О прямоугольной системы координат XYZ. Тогда процесс распространения тепла мгновенного сосредоточенного источника Q выразится уравнением

 (4.1)

здесь R2 = х2+ y2+ z2 - квадрат расстояния от источника тепла О до точки тела А с координатами х, у, z. Это уравнение процесса является особым решением дифференциального уравнения теплопроводности. Очевидно, что процесс (4.1) симметричен относительно точки О, т.е. температура любой точки тела определяется только ее сферическим радиусом-вектором R. Изотермическими поверхностями являются сферы R = const с центром в точечном источнике О.

Для того, чтобы убедиться, что решение (4.1) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, вычислим частные производные температуры по времени и пространственным координатам х, у, z и подставим в дифференциальное уравнение. В результате подстановки должно получиться тождество.

Производную ∂Т/∂t, т.е. скорость изменения температуры, найдем по правилу дифференцирования произведения двух функций от t

где

T=uv;

Производную ∂T/∂x, т.е. градиент температуры в направлении ОХ вычислим по правилу дифференцирования сложных функций

 (а)

Вторую производную температуры по оси ОХ найдем по правилу дифференцирования произведения двух функций

 (б)

Вторые производные по осям OY и OZ выразим аналогично

;  (в)

Подставляя выражения (а) – (в) в дифференциальное уравнение теплопроводности, получим тождество

 (г)

Следовательно, решение (4.1) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности. Необходимо лишь убедиться в правильном выборе постоянного (не зависящего от х и t) сомножителя в выражении (4.1), очевидно, сокращающегося в тождестве (г).

По мере того, как тепло Q источника распространяется по телу, температуры отдельных точек тела изменяются, но общее теплосодержание остается постоянно равным Q. Подсчитаем теплосодержание тела Q(t) в процессе распространения (4.1) тепла точечного источника в любой момент времени t:

 (4.2)

и проверим, остается ли оно постоянно равным Q.

Выражение 4πR2 представляет собой площадь изотермической сферической поверхности радиуса R. Подставим в выражение (4.2) уравнение процесса распространения тепла (4.1) и вычислим интеграл

Интеграл берем по частям

∫udp = up - ∫pdv

dp=exp{-R2/4at}·d(-R2/4at) =-exp{-R2/4at}·RdR/2at

p= exp{-R2/4at}; u=-2atR; du=-2atdR

Известно, что ; приведем к этому виду интеграл  подстановкой , тогда

Подставим это значение интеграла в уравнение

Следовательно,

Теплосодержание Q(t) тела, нагретого мгновенным точечным источником, в любой момент процесса t равняется теплу Q, сосредоточенному в начальный момент в точке О, следовательно, постоянный сомножитель в уравнении (4.1) выбран правильно. Теплосодержание бесконечного тела остается постоянным, так как тело не теряет тепла в окружающую среду.

В начальный момент t = 0, формула (4.1) дает бесконечно большую температуру в точке О, T(0,0) → ∞, так как в этот момент конечное количество тепла Q сосредоточено в точке, т.е. в бесконечно малом элементе объема. Во всем объеме тела вне точечного источника начальная температура равна нулю, Т (R, 0) = 0. В весьма удаленных от источника точках тела R→∞ температура во все время процесса остается равной нулю, T(∞,t) → 0.

Изотермические поверхности представляют собой сферы. Убывание температуры по радиусу выражается множителем , в то время как множитель  представляет убывание температуры точки R=0 во времени. Наибольшая температура всегда в точке R = 0.

Принцип наложения. В теле действует ряд сосредоточенных источников. Будем полагать коэффициенты λ, су и α независящими от температуры, тогда дифференциальное уравнение теплопроводности и граничные условия становятся линейными. Как известно, сумма любого числа частных решений линейного дифференциального уравнения также удовлетворяет этому уравнению. Поэтому тепло каждого источника распространяется по телу независимо от действия других источников, т.е. так, как и тепло от одиночного источника. Процессы распространения тепла отдельных источников не взаимодействуют между собой, а просто накладываются друг на друга. Принцип наложения состоит в том, что температура в процессе распространения тепла при совместном действии ряда источников рассматривается, как сумма температур от действия каждого из источников в отдельности.

Принцип наложения неприменим, если:

а) коэффициенты теплофизических свойств материала λ, сγ и коэффициент теплоотдачи α считать зависящими от температуры;

б) учитывать происходящие в теле изменения агрегатного состояния, связанные с поглощением или выделением тепла (плавление, отвердевание, структурные превращения).

Если теперь воспользоваться принципом наложения, то, комбинируя мгновенные точечные источники, можем получить множество иных источников теплоты.

Мгновенный линейный источник. Мгновенный линейный источник теплоты представляет собой комбинацию мгновенных точечных источников, действующих одновременно и расположенных по линии.

Температурное поле в пластине от мгновенного линейного источника при отсутствии теплоотдачи получается путем интегрирования температурных полей от мгновенных точечных источников

 (4.3)

После преобразования и замены Q1=Q/δ, [дж/см] находим

 (4.4)

здесь r2 = x2+y2 - квадрат расстояния от источника тепла OZ до точки тела A (x, y, z). Процесс (4.4) симметричен относительно оси OZ, и удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности для плоского поля. Температурное поле является плоским, т.е. температура не зависит от координаты z, так как размеры источника в направлении оси OZ неограничены; изотермические поверхности - круговые цилиндры с осью OZ.

Мгновенный плоский источник. Мгновенный плоский источник теплоты представляет собой совокупность мгновенных точечных источников теплоты, действующих одновременно и расположенных в одной плоскости. Под мгновенным плоским источником обычно понимают равномерное распределение Q по сечению.

Температурное поле от мгновенного плоского источника Q2= Q/F, [дж/см2] в стержне без теплоотдачи выражается уравнением

 (4.5)

Процесс симметричен относительно плоскости YOZ и удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности (4.5) для линейного поля. Так как размеры источника в плоскости YOZ не ограничены, температурное поле является линейным, т.е. температура зависит только от координаты х. Изотермические поверхности-плоскости, параллельные YOZ.

Мгновенный объемный источник теплоты представляет собой совокупность мгновенных точечных источников, распределенных по какому-либо закону в теле. Используя принцип наложения, удается получить различные мгновенные источники, отличающиеся по распределенности. По существу только точечный источник является сосредоточенным по отношению ко всем координатным осям.

Линейный источник является сосредоточенным по отношению к двум координатным осям и распределенным в третьем направлении. Плоский источник является сосредоточенным лишь в одном направлении. Объемный источник может служить примером распределенного источника по всем направлениям.