Виды бинарных отношений.

1) Бинарное отношение  называется обратным, если

2) Бинарное отношение называется рефлексивным, если

3) Бинарное отношение называется антирефлексивным, если для всех

4) Бинарное отношение называется симметричным, если для  из

5) Бинарное отношение называется антисимметричным, если  из  и

6) Бинарное отношение называется транзитивным, если из того что  и

7) Бинарное отношение называется связным, если для всех  или

 

Специальные бинарные отношения.

1) Опред.: Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве  называется отношением эквивалентности

Пример: 1)

          2)

Опред.: Пусть на множестве  задано отношение эквивалентности.

Возьмём некоторый элемент  и образуем множество состоящий из элемента и всех эквивалентных ему элементов из .

Рассмотрим множество  если оно не пусто, то выберем из него любой элемент  и образуем множество  и т. д.

Процесс продолжаем до тех пор, пока в оставшейся части  не останется ни одного элемента.

Полученная система подмножеств является разбиением и называется системой классов эквивалентности.

Свойства отношения эквивалентности

1. Класс эквивалентности порождается любым своим элементом

2. Всякое разбиение множества  определяет отношение эквивалентности , если  одному блоку разбиения

3. Всякое отношение эквивалентности определяет разбиение множества на классы эквивалентности

 

2) Опред.: Бинарное отношение называется отношением строго порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, то оно является отношением нестрогого порядка.

Пример 1. Докажите тождество:

 

Решение:

 

Пример 2. Упростите выражение с помощью законов.

Решение:

а)  

б) \ \

Пример 3. Изобразить множество на диаграмме Венна: .

	1	2	3	4
	5	6	7	8

 

 

 

Пример 4. Даны два множества: . Из каких элементов состоит заданное на множестве  бинарное отношение .

Решение:

 

={<4,2>,<4,3>,<5,3>,<6,3>}.

 

Пример 5. Определите, какими свойствами обладает следующее отношение

 на множестве :

                                 .

Решение:

 

 Пример 6. Определить свойства бинарного отношения. Определить, является ли данное бинарное отношение отношением эквивалентности или порядка.

1.

1) рефлексивно

2) антисимметрично

3) транзитивно

4) связно

Отношение нестрогого порядка

2. (  делит ) на

1) рефлексивно

2) антисимметрично

3) транзитивно

4) несвязно

Отношение нестрогого порядка

 

3.

1) антирефлексивно

2) -симметрично

3) антитранзитивно

4) несвязно

 

Булевы функции.