Что значит понятие «предикат»?

Предикат – выражение с неопределенными переменными, при выборе конкретных значений для этих переменных, преобразующееся в осмысленное (истинное или ложное высказывание).

Определим понятие предикат через функцию.

Пусть M - некоторое множество предметов и a, b, c, d - какие-то определённые предметы из этого множества. Тогда высказывания об этих предметах мы будем обозначать в виде: P(a), Q(b), R(c, d) и т.д.

P(a) обозначает высказывание о предмете a, Q(b) - высказывание о предмете b, R(c, d) - высказывание о предметах c и d и т.д.

Такие высказывания могут быть как истинны - TRUE, так и ложны - FALSE, обозначаемые соответственно символами T и F. Эти значения ставятся в соответствие определённым предметам или группам предметов.

Пусть M - произвольное непустое множество, а x представляет собой произвольный предмет из этого множества. Тогда выражение P(x) обозначает высказывание, которое становится определённым, когда x замещено определённым предметом из M. F(a), F(b),. уже представляют собой вполне определённые высказывания. Например, если M натуральный ряд, то P(x) может обозначать: " x есть простое число".

Это неопределённое высказывание становится определённым, если x заменить некоторым числом, например: "3 простое число", "4 простое число" и т.д.

Пусть S(x,y) обозначает: " x меньше y".

Это высказывание становится определённым, если x и y заменить числами: "1 меньше 3", "5 меньше 2" и т.д.

Так как каждое определённое высказывание представляет собой T или F, то выражение P(x) означает, что каждому предмету из M поставлен в соответствие один из двух символов T или F. Иначе говоря, P(x) представляет собой функцию, определённую на множестве M и принимающую только два значения T и F. Таким же образом неопределённое высказывание о двух и более предметах H(x, y), G(x, y, z) и т.д. представляет собой функцию двух, трёх и т.д. переменных. При этом переменные x, y, z пробегают множество M, а функция принимает значения T и F.

Эти неопределённые высказывания, или функции одного или нескольких переменных, называются логическими функциями или предикатами.

В соответствии с этим предикатами будут следующие фразы:

- значение переменной i равно двум;

- переменная k положительна, а значение переменной m при этом не превосходит 100;

- значения всех целочисленных переменных программы являются нулевыми;

- неправда, что значение переменной i неположительно.

Если все переменные имеют область определения TF, то количество различных предикатов определенной арности ограничено. Например, тогда предикатов арности 1 всего 4 штуки. Это множества:

{(_false, false_), (_true, false_) }

{(_false, false_), (_true, true_) }

{(_false, true_), (_true, false_) }

{(_false, true_), (_true, true_) }

Предикатов арности 2 будет 16 штук, вот один из них:

{(_(_false, false_), false_), (_(_false, true_), false_), (_(_true, false_), false_), (_(_true, true_), true_) }

Предикат удобно обозначать одиночным символом (например, P). Надо особо заметить, что этот символ может быть как переменной, так и константой. В данном случае предикатной переменной или предикатной константой. Если предикат уже полностью определен через формулу или как множество (через запись в фигурных скобках или другие операции) или через равенство, то символ, обозначающий такой предикат, есть предикатная константа. Если предикат не определен полностью, то символ, обозначающий такой предикат, есть предикатная переменная. Область допустимых значений для такой переменной - некоторое множество предикатов, заданное каким-нибудь способом

Множество значений функции P - это подмножество Y' области значений, состоящее из таких ее элементов y, для которых существует x X такой, что F(x) = y.

Множество истинности предиката P - это подмножество X' области определения, состоящее из таких ее элементов x, для которых F(x) = true.

В этих двух определениях произвольная функция сведена к формату с одной переменной. Предикаты классифицируются по множеству значений Y' и множеству истинности X':

Тип	Множество значений	Множество истинности	Краткое обозначение
Тождественно истинный, общезначимый, тавтология	Y' = {true}	X' = X	P true
Необщезначимый	(Y' = {false}) (Y' = TF)	X' ≠ X	P true
Тождественно ложный, невыполнимый	Y' = {false}	X' =	P false
Выполнимый	(Y' = {true}) (Y' = TF)	X' ≠	P false
Нейтральный, переменный	Y' = TF	(X' ≠ X) & (X' ≠ )	P const
Постоянный	(Y' = {false}) (Y' = {true})	(X' = X) (X' = )	P const

Список используемой литературы

1. Автоматизированные информационные технологии в экономике: Учебник/ М.И. Семенов, И.Т. Трубилин, В.И. Лойко, Т.П. Барановская; Под. общ. ред.И.Т. Трубилина. – М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Автоматизированные информационные технологии в экономике: Учебник/ Под ред. Проф. Г.А. Титоренко _ М.: ЮНИТИ, 2004. – 399с.

3. Информатика: Учебник для вузов / В.А. Острейковский; - М.: Высшая школа, 2000.

4. Информационное обеспечение управленческой деятельности: Учебник/ В.В. Годин, И.К. Корнеев – М.: Высшая школа, 2001.

5. Экономическая информатика: Учебник / Под. ред.В.П. Косарева и Л.В. Еремина. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 592с.