Задание 2. Расстояния в ориентированном графе

С помощью алгоритма фронта волны найти расстояния в ориентированном графе D : диаметр, радиус и центры.

Пусть  ориентированный граф с n³2 вершинами и v,w (v¹w) – заданные вершины из V.

Алгоритм поиска минимального пути из  в  в ориентированном графе

(алгоритм фронта волны).

1) Помечаем вершину  индексом 0, затем помечаем вершины Î образу вершины  индексом 1. Обозначаем их FW₁ (v). Полагаем k=1.

2) Если  или k=n-1, и одновременно  то вершина  не достижима из . Работа алгоритма заканчивается.

В противном случае продолжаем:

3) Если , то переходим к шагу 4.

В противном случае мы нашли минимальный путь из  в  и его длина равна k. Последовательность вершин

есть этот минимальный путь. Работа завершается.

4) Помечаем индексом k+1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин c индексом k. Множество вершин с индексом k+1 обозначаем . Присваиваем k:=k+1 и переходим к 2).

Замечания

· Множество  называется фронтом волны k^го уровня.

· Вершины  могут быть выделены неоднозначно, что соответствует случаю, если  несколько минимальных путей из  в .

Чтобы найти расстояния в ориентированном графе, необходимо составить матрицу минимальных расстояний R(D)между его вершинами. Это квадратная матрица размерности , элементы главной диагонали которой равны нулю ( , i=1,..,n).

Сначала составляем матрицу смежности. Затем переносим единицы из матрицы смежности в матрицу минимальных расстояний ( , если ). Далее построчно заполняем матрицу следующим образом.

Рассматриваем первую строку, в которой есть единицы. Пусть это строка − i-тая и на пересечении с j-тым столбцом стоит единица (то есть ). Это значит, что из вершины  можно попасть в вершину  за один шаг. Рассматриваем j-тую сроку (строку стоит вводить в рассмотрение, если она содержит хотя бы одну единицу). Пусть элемент . Тогда из вершины  в вершину  можно попасть за два шага. Таким образом, можно записать . Следует заметить, что если в рассматриваемых строках две или более единиц, то следует прорабатывать все возможные варианты попадания из одной вершины в другую, записывая в матрицу длину наикратчайшего из них.

Примечание: В контрольной работе самый длинный путь найти при помощи алгоритма фронта волны.

Пример

Найдем расстояния в ориентированном графе D, изображенном на рис. 7. В данной задаче количество вершин n =7, следовательно, матрицы смежности и минимальных расстояний между вершинами ориентированного графа D будут иметь размерность 7×7.

Рис.7.

Матрица смежности:

                                .

Начинаем заполнять матрицу R(D) минимальных расстояний: сначала ставим нули по главной диагоналии r_ij=a_ij, если a_ij=1, (т.е. переносим единицы из матрицы смежности). Рассматриваем первую строку. Здесь есть две единицы, то есть из первой вершины за один шаг можно попасть во вторую и шестую. Из второй вершины можно попасть за один шаг в третью (путь в первую вершину нас не интересует), следовательно, можно записать . Из шестой вершины можем добраться за один шаг в пятую и седьмую, а значит, , . Теперь ищем маршруты, исходящие из первой вершины, состоящие из 3 шагов: за 2 шага идем в третью вершину, оттуда за один шаг попадаем в четвертую, поэтому . В итоге получаем следующую матрицу:

Таким образом, диаметром исследуемого ориентированного графа будет .

Для каждой вершины заданного ориентированного графа найдем максимальное удаление (эксцентриситет) в графе G от вершины нее по формуле, которая была приведена выше : r(v_i) − максимальное из расстояний, стоящих в i-той строке. Таким образом,

r(v₁)=3, r(v₂)=3, r(v₃)=5, r(v₄)=4, r(v₅)=2, r(v₆)=2, r(v₇)=3.

Значит, радиусомграфа G будет

Соответственно, центрами графа G будут вершины v₅ и v₆ , так как величины их эксцентриситетов совпадают с величиной радиуса .

Опишем теперь нахождение минимального пути из вершины v₃ в вершину v₆ по алгоритму фронта волны. Обозначим вершину v₃ как V₀, а вершину v₆ - как W (см. рис. 8). Множество вершин, принадлежащих образу V₀, состоит из одного элемента - это вершина v₄, которую, согласно алгоритму, обозначаем как V₁: FW₁(v₃)={v₄}. Поскольку искомая вершина не принадлежит фронту волны первого уровня , продолжаем работу алгоритма. Строим фронт волны второго уровня - это множество вершин, принадлежащих образу вершины V₁: FW₂(v₃)={v₇}, обозначаем v₇≡V₂. В образ вершины V₂ входят две вершины - v₅ и v₄, но, так как v₄ уже была помечена как V₀, то фронт волны третьего уровня состоит из одного элемента: FW₃(v₃)={v₅}, v₅≡V₃. Из непомеченных вершин в образ вершины V₃ входят v₁ и v₂, соответственно, FW₄(v₃)={v₁, v₂}, v₁≡V₄, v₂≡V₄. Теперь помечены все вершины, кроме v₆, которая входит в образ вершины , то есть FW₅(v₃)={v₆≡W}, работа алгоритма закончена. Минимальный путь (5 шагов) из вершины v₃ в вершину v₆ выглядит так: v₃ v₄ v₇ v₅ v₁ v₆.

Рис.8.