Процесс обслуживания как марковский случайный процесс.
В указанных нами предположениях о потоке требований и о длительности обслуживания задачи теории массового обслуживания приобретают некоторые черты, облегчающие проведение исследований. Мы отмечали уже вычислительную простоту. Теперь отметим более принципиальное соображение, которое станем развивать применительно к изучаемой задаче. В каждый момент рассматриваемая система может находиться в одном из следующих состоянии: в момент t в системе находятся k требовании (k= 0, 1, 2, ...). Если k rn, то в системе находятся и обслуживаются k требований, а m-k - приборов свободны. Если k m, то m требований обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают обслуживания. Обозначим через состояние, когда в системе находятся k требований. Таким образом, система может находиться в состояниях ... Обозначим через — вероятность того, что система в момент t окажется в состоянии . Сформулируем, в чем заключается особенность изучаемых нами задач в сделанных предположениях. Пусть в некоторый момент наша система находилась и состоянии . Докажем, что последующее течение процесса обслуживания не зависит в смысле теории вероятностей от того, что происходило до момента . Действительно, дальнейшее течение обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами: моментами окончания обслуживаний, производящихся в момент ; моментами появления новых требований; длительностью обслуживания требований, поступивших после . В силу особенностей показательного распределения длительность остающейся части обслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось обслуживание до момента . Так как поток требований простейший, то прошлое не влияет на то, как много требований появится после момента . Наконец длительность обслуживания требований, появившихся после , никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента . Известно, что случайные процессы, для которых будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом, называются процессами Маркова или же процессами без последействия. Итак, система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова. Это обстоятельство облегчает дальнейшие рассуждении. 3. Составление уравнений. Задача теперь состоит в том, чтобы найти те уравнения, которым удовлетворяют вероятности . Одно из уравнения очевидно, a именно для каждого t (2) Найдём сначала вероятность того, что и момент t.+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами: · в момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало; · в момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило. Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них біла закончена - имеют вероятность о(h), как легко в этом убедится. Вероятность первого из указанных событий равна , вероятность второго события . Таким образом . Отсюда очевидным образом приходим уравнению Перейдём теперь к составлению уравнений для при 1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 и . Пусть в начале 1 . Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние в момент t+h. Эти состояния таковы: В момент t система находилась в состоянии , за время h новых требований не поступило и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна: В момент t система находилась в состоянии , за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна В момент t система находилась в состоянии , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние за промежуток времени h имеют вероятность, равную о(h). Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство: Несложные преобразования приводят от этого равенства к такому уравнению для 1 ; (4) Подобные же рассуждения для приводят к уравнению (5) Для определения вероятностей получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (2)-(5). Её решение представляет несомненные технические трудности. 4. Определение стационарного решения. В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для . Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами, некоторые из них позднее будут установлены. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введём для них обозначения . Заметим дополнительно, что при . Сказанное позволяет заключить, что уравнения (3), (4), (5) для стационарных вероятностей принимают следующий вид: (6) при 1 (7) при (8) К этим уравнениям добавляется нормирующее условие (9) Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введём обозначения: при 1 при Система уравнений (6)-(8) в этих обозначениях принимает такой вид: при Отсюда заключаем, что при всех т.е. при 1 (10) и при (11) Введём для удобства записи обозначение . Уравнение (10) позволяет заключить, что при 1 (12) При из (11) находим, что и, следовательно, при (13) Остаётся найти . Для этого в (9) подставляем выражения из (12) и (13). В результате так как бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, сходится только при условии, что (14) то при этом предположении находим равенство (15) Если условие (14) не выполнено, т.е. если , то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения , расходится и, значит, должно быть равно 0. Но при этом, как следует из (12) и (13), при всех оказывается . Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при с течением времени очередь стремится к по вероятности. Поясним полученный результат на нескольких практических примерах, которые покажут, что обычные в практической деятельности подсчеты, основанные на чисто арифметических соображениях, при которых не учитывается специфика случайных колебаний в поступлении требований на обслуживание, приводят к серьезным просчетам. Пусть врач успевает удовлетворительно осмотреть больного и заполнить его историю болезни в среднем за 15 минут. Планирующие органы из этого обычно делают вывод: за четырёхчасовый рабочий день врач должен принимать 16 человек. Однако больные приходят в случайные моменты времени. В результате при таком подсчете пропускной способности врача к нему неизбежно скапливается очередь, так как при проведенном подсчете принимается равным 1. Те же заключения относятся и к расчету числа коек в больницах, числа работающих касс в магазинах, числа официантов в ресторанах и т. д. К сожалению, некоторые экономисты совершают такую же ошибку и при расчете погрузочных средств в карьерах, числе приемщиков на элеваторах, числе причалов в морских портах и пр. Во всем дальнейшем мы предполагаем, что условие (14) выполнено. 5. Некоторые подготовительные результаты. Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой . Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через вероятность того, что длительность ожидания превзойдёт t, и через вероятность неравенства, указанного в скобке при условии, что в момент поступления требования, для которого подсчитывается длительность ожидания, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство (16) Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для использования, приготовим некоторые необходимые для дальнейшего сведения. Прежде всего для случаев m=1 и m=2 найдем простые формулы для . Несложные преобразования приводят к таким равенствам: при m =1 =1- , (17) а при m=2 (18) Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна (19) Эта формула для m=1 принимает особенно простой вид: (20) при m=2 (21) В формуле (19) может принимать любое значение от 0 до m (исключительно). Так что в формуле (20) < 1, а в (21) <2. 6. Определение функции распределения длительности ожидания. Если в момент поступления требования в очереди уже находились k - m требований, то, поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены k-m+1 требований. Пусть означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего требования закончилось обслуживание ровно s требований. Ясно, что при имеет место равенство Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и не зависящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания (т.е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна Если все приборы заняты обслуживанием и ещё имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия — стационарность, отсутствие последействия и ординарность — выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна (это можно показать и простым подсчетом) Итак, и, следовательно,
Но вероятности известны: поэтому
Очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду =
. Из формул (18) и (19) следует, что поэтому при m 0 (22) Само собой разумеется, что при t 0 Функция имеет в точке t=1 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми. 7. Средняя длительность ожидания. Формула (22) позволяет находить все интересующие числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна Несложные вычисления приводят к формуле (23) Дисперсия величины равна Формула (23) даёт среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T. За время T в систему поступает требований и среднем; общая потеря ими времени па ожидание в среднем равна (24) Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины . При этом мы ограничиваемся случаем Т=1 и рассматриваем лишь самые малые значения т: т=1 и т=2. При т=1 в силу (20) При р=0,1; 0,3; 0,5; 0,9 значение а приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,500; 1,633; 8,100. При m=2 в силу (24)
При =0,1; 1,0; 1,5; 1,9 значение а приблизительно равно 00003; 0,333; 1,350; 17,537. Приведённые данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчёте загрузки оборудования в системах массового обслуживания.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (177)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |