Методы численного интегрирования
Содержание численное интегрирование формула программирование Введение Методы численного интегрирования 2. Квадратурные формулы 3. Автоматический выбор шага интегрирования Заключение Библиографический список Введение Цель реферата состоит в изучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ. При решении инженерных задач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенного интеграла вида
. (1)
Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница:
.
В инженерных задачах получить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того, функция f(x) может быть задана, например, таблицей экспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенного интеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппарат интерполирования. Идея таких методов заключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1), сначала вычисляют значения функции f(xi) = yi в некоторых узлах xi Î[a, b]. Затем выбирается интерполяционный многочлен P(x), проходящий через полученные точки (xi, yi), который используется при вычислении приближенного значения интеграла (1): .
При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:
, (2)
где - узлы интерполирования, Ai – некоторые коэффициенты, R – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами. Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(х),осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R, характеризующего погрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительная погрешность. Методы численного интегрирования
В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла
Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.
Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки в соответствующем отрезке. В зависимости от выбора мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6)
(5) (6)
Формула трапеции:
Формула Симпсона
где m=n/2 h=b-a/n b, a - концы рассматриваемого отрезка. Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0, ] на 6 равных отрезков:
h=
По формуле левых прямоугольников:
По формуле трапеции:
По формуле Симпсона:
А результат полученный аналитически равен
=1
Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.
Квадратурные формулы Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на п равных частей длиной . Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х0 = а, х1 = a + h, ..., xn= b отметим ординаты y0, y1,…, yn кривой f(x), т.е. вычислим уi = f(xi), xi = a+ ih = xi-1+ h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и yi, где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получим формулу прямоугольников: . (3)
Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f(x) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h, что показано на рис. 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:
. (4)
Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f(x), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рис. 2):
. (5)
Формулы (3), (4) и (4) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.
Рис. 1
Рис. 2
Формула трапеций. Здесь на каждом элементарном интервале [xi-1, xi] длины h точки с координатами (xi-1, yi-1) и (xi, yi) соединяются отрезком (рис. 3). Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением 0,5h(yi-1 + yi). Суммируя площади элементарных трапеций для i = получим приближенное значение интеграла:
. (6)
Рис. 3. Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2n равных частей длиной . На каждом отрезке [xi, xi+2] подынтегральную функцию f(х) заменим параболой, проходящей через точки (xi, yi), (xi+1, yi+1), (xi+2, yi+2). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона:
. (7)
При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула:
Метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. Формула Ньютона. Приближенное значение интеграла по формуле Ньютона вычисляется следующим образом:
где число участков разбиения кратно трем, т.е. составляет 3n. При разработке программ для ЭВМ удобнее использовать эквивалентную формулу:
Метод Ньютона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до четвертого порядка включительно.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (167)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |