Построение математической модели объекта по экспериментальной переходной характеристике

Задача построения математической модели включает в себя несколько этапов:

1. Выбор аппроксимирующей передаточной функции, дающей приемлемую модель объекта для проектирования АСР с типовыми регуляторами.

2. Определение параметров модели, обеспечивающих совпадение аппроксимируемой и аппроксимирующих переходных характеристик согласно выбранному критерию приближения.

3. Оценка точности аппроксимации

Выбор вида аппроксимирующей передаточной функции

Разработано большое количество методов аппроксимации экспериментальных данных отличающихся друг от друга структурой модели, критериями приближения, особенностью выполнения расчётов. Применим хорошо зарекомендовавший себя метод, согласно которому передаточная функция модели пишется в виде:

где Т₁, T₂, k, t – соответствующие постоянные времени, коэффициент передачи, запаздывание.

n – показывает определяющий порядок знаменателя передаточной функции.

Критерием приближения является требование совпадения аппроксимируемой h и аппроксимирующей h_a характеристик в точках t = 0, t = ¥ и в точке перегиба. Кроме того, в точке перегиба эти характеристики должны иметь одинаковый наклон. Таким образом, критерий приближения имеет следующий вид:

Для определения производной h’ переходной характеристики h в точке, где эта характеристика имеет максимальный наклон, проводится касательная и определяется длина отрезка Т₀ заключённого между точкой этой касательной с горизонтальной осью и линией нового установившегося значения характеристики, то есть с линией h_уст. Приняв значение:

,

критерий приближённости можно переписать следующим образом:

Это условие позволяет найти численные значения постоянных времени Тi,  величину t_п.а и запаздывание t = t_п – t_п.а аппроксимирующей передаточной функции.

Определение параметров модели

Расчёт параметров удобно производить при помощи номограммы.

Номограмма для определения параметров модели

Порядок расчета следующий:

1. По переходной характеристике определяются исходные данные для аппроксимации. При помощи графика переходного процесса, полученной на производстве определили:

­ установившееся значение переходной характеристики h_уст = 1;

­ значение в точке перегиба h = 0,321;

­ время точки перегиба t_п =6,6;

­ время регулирования T₀ = 10,0;

2. Находим величину b =  и по таблицам определяем порядок n аппроксимирующей передаточной функции.

Имеем b =  =  = 0,321.

При b = 0,321.

Принимаем n = 2.

3. По таблицам определяем отношения , ,

и, следовательно, величины T₁, T₂ и t _п.а.

Имеем:  = 0,325;  = 0,75;  = 1,651.

Тогда:

T₁ = 0,325 × T₀ = 0,325*10 = 3,25 мин;

T₂ = 0,75 × T₁ = 0,75*3,25 = 2,43 мин;

t_п.а = 1,651 × T₁ = 1,651*3,25= 5,36 мин.

Поскольку t_п > t _п.а, находим время запаздывания :

t = 6,6 – 5,36 = 1,24 мин.

Найдем численное значение коэффициента передачи К, входящего в выражение для аппроксимирующей передаточной функции.

Имеем

где - отклонение давления в переходном режиме при t ® ¥;

- принятая в расчете величина возмущения по каналу регулирующего органа, равная 10% его хода.

С учетом найденных значений К, t, Т_1, Т_2, n аппроксимирующая передаточная функция запишется в виде:

При оценке точности аппроксимации в передаточной функции согласно и необходимо положить:

К = 0,5; t = 1,24; Т = 3,25;

a₁ = 0,75; a₂ = 0; n₁ = 1; n₂ = 2; n ₃ = 0.

Используя выше рассчитанные данные и приняв в расчёте величину возмущающего воздействия по каналу регулирования равным 10% хода регулирующего органа.

На основе полученных данных строим график для аппроксимированной и аппроксимирующих кривых.

Аппроксимируемая и аппроксимирующая кривая

Расчёт на ЭВМ переходной функции модели и сравнение её с заданной показывают, что модель адекватна реальному процессу. Максимальное отклонение друг от друга ординат аппроксимируемой и аппроксимирующей переходных характеристик не превышает 4%.