Развитие евклидовой геометрии
Новая система геометрии не получила признания при жизни ее творцов. Коллега Лобачевского по Казанскому университету П.И. Котельников (1809-1879) в своей актовой речи 1842 г. открыто заявил: «не могу умолчать о том, что тысячелетние тщетные попытки доказать со всей математической строгостью одну из основных теорем геометрии, равенство суммы углов в прямолинейном треугольнике двум прямым, побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего университета предпринять изумительный труд - построить целую науку, геометрию, на новом предложении: сумма углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых – труд . который рано или поздно найдет своих ценителей». За исключением этого выступления неизвестны другие официальные положительные отзывы о Лобачевском, как о творце новой геометрии. На «Аппендикс» Я. Бояи и вовсе не имелось откликов. Гаусс же, как уже говорилось, избегал публикации своих открытий. Ситуация изменилась только в 60-х годах XIX века. Несмотря на враждебное отношение отдельных влиятельных математиков старших поколений, к изучению и разработке неевклидовой геометрии приступает все большее число выдающихся молодых ученых. Некоторую роль в этом сыграло посмертное издание писем Гаусса. В Европе идеи неевклидовой геометрии воспринимаются с энтузиазмом, появляются переводы трудов Лобачевского. Меняется отношение к новой геометрии и в России. В 1868 г. профессор Московского высшего технического училища А. В. летников (1837-1888) поместил в III тому «Математического сборника» русский перевод «Геометрических исследований» Лобачевского с предисловием, в котором геометрические труды Лобачевского характеризуются как «весьма замечательные, но мало известные», а профессор Э. П. Янишевский опубликовал в Казани «Историческую записку о жизни и деятельности Н. И. Лобачевского». И, наконец, в том же 1868 году выходит статья Э. Бельтрами(1835 - 1900) об интерпретациях геометрии Лобачевского «опыт интерпретации неевклидовой геометрии», в которой он отправлялся от работ Миндинга. В этой работе Бельтрами вычислил линейный элемент (квадрат дифференциала дуги) плоскости Лобачевского в координатах u, v , равных расстояниям точки от двух взаимно перпендикулярных прямых, деленным на r (в настоящее время эти координаты называют бельтрамиевыми), и нашел, что в этой системе координат линейный элемент имеет вид . Вычисляя далее гауссову кривизну поверхности с таким линейным элементом, Бельтрами обнаружил, что гауссова кривизна плоскости Лобачевского во всех ее точках равна одному и тому же числу , то есть что плоскость Лобачевского можно рассматривать как поверхность постоянной отрицательной кривизны. Так как всякую поверхность с точки зрения ее внутренней геометрии можно рассматривать как интерпретацию любой поверхности, наложимой на нее, а необходимым и достаточным условием наложимости поверхностей является равенство гауссовых кривизн в соответственных точках поверхностей, Бельтрами сделал вывод, что плоскость Лобачевского может быть интерпретирована любой поверхностью постоянной отрицательной кривизны. Впоследствии (1900) Гильберт доказал, что всякая поверхность постоянной отрицательной кривизны в евклидовом пространстве изометрична только части или нескольким частям плоскости Лобачевского, но никогда не изометрична плоскости Лобачевского целиком. С другой стороны, рассматривая точки евклидовой плоскости с координатами, численно равными «бельтрамиевым координатам» u, v плоскости Лобачевского, Бельтрами получает вторую интерпретацию. Так как координаты u, v связаны условием , (3) при этой интерпретации вся плоскость Лобачевского изображается внутренностью круга, ограниченного окружностью . (4) Бальтрами показал, что прямые линии плоскости Лобачевского при этом изображаются хордами этого круга, а расстояние токи Р с координатами (u,v) до начала координат 0 равно . (5) Хотя Бельтрами не дал формулы для расстояния между двумя произвольными точками и не выяснил, как в его интерпретации изображаются движения плоскости Лобачевского, эта интерпретация Бельтрами явилась первым, правда, неполным, доказательством непротиворечивости плоскости Лобачевского. Впоследствии появились интерпретации Кэли и Клейна Лобачевский указывал но связь геометрии с физикой, и хотя его измерения углов с треугольника с громадными астрономическими размерами показали еще справедливость евклидовой геометрии, на самом деле, как оказалось позже, поправки, полученные в рамках теории, основанной именно на неевклидовой геометрии, оказались заметными даже внутри планетной системы, объяснив знаменитую аномалию движения Меркурия, обнаруженную в XIX столетии Леверье. Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной математике, и фактически в теории геометризованной гравитации марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна(1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше была установлена вязь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное соотношение уже отмечали Лобачевский и Бояйи). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского. Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.
Список литературы: 1. Математика XIX века, «Наука», М., 1981 2. Юшкевич А.П., История математики в России, «Наука», М., 1968 3. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, «Наука», М.,1971. 4. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, «Белка», М., 1993 5. Клайн М., Математика. Утрата определенности, «Мир», М., 1984
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (188)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |