Определение формы связи между результирующим (У) и объясняющим (Х) фактором и расчёт параметров уравнения парной регрессии.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХСВЯЗЕЙ

 

 

Контрольная работа по предмету:

«ЭКОНОМЕТРИКА»

 

 

                     Студентки 1 курса

Группы 2009-2 МЭ

Кощиенко Евгении

Ростов – на – Дону

 2009

Целью данной контрольной работы является построение и анализ функции спроса на товар А. Эконометрические модели спроса строятся в виде уравнений парной и множественной регрессии, в которых в качестве зависимой пе­ременной величины (функции) выступает спрос, а в качестве независимых переменных величин (аргументов) - формирую­щие его причинные факторы. Наиболее существенными факто­рами, оказывающими влияние на спрос, являются: цена на дан­ный товар, цены на другие товары, доход, половозрастной со­став семьи, размер семьи, вкусы и привычки и т.д. Как прави­ло, анализ спроса начинают с построения функции одной пе­ременной. Для этого все факторы, кроме одного, считают неиз­менными или закрепляют на каком-либо уровне. Если в каче­стве формирующего фактора выбрать цену на данный товар, то получим так называемую функцию спроса от цены. Если же в качестве аргумента выбрать доход, то получим функцию по­требления (функцию спроса от дохода).

Очевидно, что все это многообразие факторов не может быть непосредственно включено в эконометрическую модель спроса. В модели учитываются лишь наиболее существенные факторы, то есть те, которые вызывают значительные изменения в спросе населения на данный товар, оказывают определяющее воздействие на процесс формирования и развития этого спроса. Хотя реальный спрос находится под влиянием всех переменных, используя принцип «при прочих равных условиях», мы можем вычленить степень влияния отдельной переменной и составить уравнения для каждой детерминанты, принимая остальные постоянными.

Эффективными методами отбора наиболее существенных факторов являются качественный анализ, корреляционный анализ, а также анализ результатов специально проводимых опросов мнений специалистов (экспертных оценок).

С конца 19-го века, когда немецкий статистик Энгель сформулировал законы изменения спроса на различные товары в зависимости от изменения дохода потребителя, в качестве важнейшего фактора, влияющего на потребление товаров, рассматривается денежный душевой доход.

В зависимости от используемых математических методов различают структурные и функциональные модели спроса. Структурные модели исходят из того, что для каждой доходной группы населения по бюджетным данным может быть рассчитана свойственная ей структура потребления. Из всех факторов, под влиянием которых формируется эта структура, изменяемым считается только доход, а прочие факторы принимаются постоянными. Изменение дохода рассматривается как перемещение определенного количества семей из одних доходных групп в другие.

В структурной модели используются фактические нормы потребления, исчисленные по статистическим данным, которым присущи случайные отклонения и ошибки, поэтому при анализе и прогнозировании спроса эти нормы выравнивают при помощи построения функциональной модели спроса.

Итак, для выполнения нашей работы выберем в качестве аргумента доход и получим функцию по­требления (функцию спроса от дохода).

В процессе выполнения работы необходимо выполнить три цикла эконометрического исследования, каждый из которых состоит из шести этапов:

1 этап (постановочный): определение конечной цели моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателей на основе качественного анализа иссле­дуемого экономического процесса.

2 этап (априорный): предмодельныйанализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации.

3 этап (параметризация): моделирование, т.е. выбор общего вида математической модели процесса, состава и формы входящих в нее связей.

Основная задача, решаемая на этом этапе, - спецификация модели, т.е. выражение в математической форме обнаруженных связей и соотношений; установление состава эндогенных и экзогенных переменных; формулировка исходных предпосылок и ограничений модели. От того, насколько удачно решена проблема спецификации модели, в значительной степени зависит успех всего эконометрического моделирования.

4 этап (информационный):  формирование репрезентативной выборочной статистической сово­купности, сбор необходимой статистической информации: регистрация значений участвующих в модели факторов и показателей на различных временных и пространственных интервалах функционирования явления. 

5 этап (идентификация модели): статистический анализ модели, прежде всего, выбор методов оценивания неизвестных параметров модели в соот­ветствии с особенностями объектов исследования и спецификой имеющихся данных наблюдений и статистическое оценивание этих параметров.

6 этап (верификация модели): сопоставление модельных и расчетных данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных. На этом этапе рассчитываются:

1) коэффициенты корреляции (корреляционное отношение) и детерминации, используемые для проверки пра­вильности произведенного отбора факторов и принятой формы связи;

2) эмпирические и теоретические коэффициенты эластичности зависимой переменной по факторам, сравнение которых между собой также применяется в качестве критерия проверки адекватности модели;

3) статистические t – критерий и F – критерий, а также их доверительные интервалы, для проверки статистической значимости коэффициентов регрессии и детерминации соответственно.

Первый цикл, включает обоснование и проверку адекватности линейной модели парной регрессии, независимым фактором в которой является денежный доход потребителя. Исходные данные для выполнения этого цикла приведены в приложении (y обозначает спрос на товар А, х – средний доход в расчете на 1 человека).

Во втором цикле для тех же исходных данных в соответствии со всеми шестью этапами анализируется степенная функция.

В третьем цикле добавляется еще один фактор – размер семьи и анализируется линейная модель множественной регрессии.

В результате проверки по всем необходимым критериям должен быть сделан выбор в пользу одной из трех исследованных моделей.

Первый цикл.

Обоснование и проверка адекватности линейной модели парной регрессии, независимым фактором в которой является денежный доход потребителя.

 Исходные данные, характеризующие изменение среднего душевого дохода в расчете на 1 человека - (Х) и расхода на потребление товара А (спрос на товар А) - (Y) приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Исходные данные

Вариант 1.16

Душевой доход ( X) (ден.ед.)	Расход на потребление товара А ( Y) (ден.ед.)	X ²	X * Y	Y²
200	120	40 000	24 000	14 400
250	129	62 500	32 250	16 641
300	135	90 000	40 500	18 225
350	140	122 500	49 000	19 600
400	145	160 000	58 000	21 025
450	151	202 500	67 950	22 801
500	155	250 000	77 500	24 025
550	160	302 500	88 000	25 600
600	171	360 000	102 600	29 241
650	182	422 500	118 300	33 124
700	189	490 000	132 300	35 721
= 4950	= 1677	= 2 502 500	= 790400	= 260 403    3308507 507 507130011
= 450	= 152,4545	= 227 500	= 71854,55	= 23 673

 

Определение формы связи между результирующим (У) и объясняющим (Х) фактором и расчёт параметров уравнения парной регрессии.

Задачу определения парной регрессии можно сформулировать следующим образом: по наблюденным значениям одной переменной (X) нужно оценить или предсказать ожидаемое значение другой переменной (Y).

В модели линейной регрессии теоретически предполагается существование между переменными X и Y связи следующего вида:

,                                                                                          

где y - зависимая, объясняемая переменная, результирующий признак, регрессант;

х - независимая, объясняющая переменная, регрессор, факторный признак;

U – остаточная компонента, случайный член;

a , β - неизвестные параметры.

Уравнение (1) называется регрессионным уравнением.

Задача регрессионного анализа состоит в получении оценок неизвестных параметров a и β и в определении положения прямой по точкам Р (фактическим значениям). Зависимая переменная состоит из неслучайной и случайной составляющих.

Предположим, что мы нашли эти оценки и можно записать уравнение:

ŷ = a + b х,                                                                                                

где а - регрессионная постоянная, точка пересечения линии регрессии с осью OY;

b - коэффициент регрессии, угол наклона линии регрессии, характеризующий отношение D Y ¤ D X;

ŷ - теоретическое значение объясняемой переменной.

Как известно в парной регрессии выбор вида математической модели может осуществляться тремя видами:

1. Графическим.

2. Аналитическим.

3. Экспериментальным.

Для выбора функции, описывающей наблюденные значения, можно использовать графический метод. Исходные данные наносятся на координатную плоскость. На оси абсцисс откладывают значения факторного признака, а на оси ординат - значения результирующего признака. Расположение точек покажет примерную форму связи. Как правило, эта связь является криволинейной. Если кривизна этой линии невелика, то можно принять гипотезу о существовании прямолинейной связи.

Функцию потребления изобразим в виде диаграммы рассеивания. Для этого в системе координат на оси абсцисс отложим значение дохода, а на оси ординат - расходы на потребление условно­го товара. Расположение точек, соответствующих наборам значений "доход - расход на потребление", покажет пример­ную форму связи (рисунок 1).

 

 

Визуально, по диаграмме, почти никогда не удаётся однозначно назвать наилучшую зависимость.

Перейдём к оценке параметров выбранной функции a и b способом наименьших квадратов.

Проблема оценивания может быть сведена к "классической" задаче отыскания минимума. Переменными теперь оказываются оценки а и b неизвестных параметров предполагаемой связи у и х. Для отыскания наименьшего значения какой-либо функции сначала надо найти частные производные I порядка. Затем каждую из них приравнять нулю и разрешить полученную систему уравнений относительно переменных. В нашем случае такой функцией является сумма квадратов отклонений - S, а переменными - а и b. То есть мы должны найти = 0 и = 0 и разрешить полученную систему уравнений относительно а и b.

Выведем оценки параметров по методу наименьших квадратов, предполагая, что уравнение связи имеет вид ŷ = a + b х. Тогда функция S имеет вид . Дифференцируя функцию S по а, мы получаем первое нормальное уравнение, дифференцируя по b - второе нормальное уравнение.

 

,                                                                          

,

После соответствующих преобразований получим:

                                                                              

                                                                                       (*)

 

Существуют упрощенные правила построения системы нормальных уравнений. Применим их к линейной функции:

1) Перемножим каждый член уравнения ŷ = a + b х на коэффициент при первом параметре (а), то есть на единицу.

2) Перед каждой переменной поставим знак суммирования.

3) Свободный член уравнения умножим на n.

4) Получим первое нормальное уравнение

5) Перемножим каждый член исходного уравнения на коэффициент при втором параметре (b), то есть на х.

6) Перед каждой переменной ставим знак суммирования.

7) Получаем второе нормальное уравнение

По этим правилам составляется система нормальных уравнений для любой линейной функции. Правила впервые были сформулированы английским экономистом Р. Перлом.

Параметры уравнений рассчитываются по следующим формулам:

,                                                                        

,                                                                  

Построим, используя исходные данные в таблице 1 , систему нормальных уравнений (*) и решим ее относительно неизвестных а и b:

1677=11*a+4950*b                                                                 a = -3309

790 400=4950*a+2 502 500*b                                         b = 7,6923

                                    

Уравнение регрессии имеет вид:

ŷ =-3309 + 7,6923 х ,

Сравним фактические и расчетные расходы на потребление товара А (таблица 2).

Таблица 2 Сравнение фактических и расчетных значений расходов на потребление товара А при прямолинейной зависимости:

№ группы