Формула Ньютона–Лейбница
Контрольная работа По дисциплине: «Высшая математика» Тема: «Длина дуги кривой в прямоугольных координатах» Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
Сформулируем следующее свойство определенных интегралов: Пусть функция непрерывна на . Составим для нее определенный интеграл . Пусть для определенности на всем отрезке. Тогда с геометрической точки зрения составленный интеграл не что иное, как площадь криволинейной трапеции с основанием , которая ограничена линией . Если в рассматриваемом интеграле заменить переменную интегрирования на , то величина его, очевидно, не изменится. Поэтому в дальнейшем для удобства будем считать, что площадь трапеции определяется интегралом .
Величина определенного интеграла зависит от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования, то есть от длины основания криволинейной трапеции. Рассмотрим поэтому теперь случай, когда нижний предел интеграла фиксирован и равен , а верхний может меняться, принимая значения , где . В этом случае определенный интеграл будет соответствовать площади криволинейной трапеции, величина которой меняется. Зависеть эта площадь будет от значения , то есть . Если будет меняться непрерывно, то и площадь трапеции будет меняться непрерывно, то есть – непрерывная функция, которую можно дифференцировать. Теорема. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, у которой переменная интегрирования заменена этим верхним пределом, то есть или . Для вычисления производной проделаем все стандартные операции. Зададим приращение аргументу: , что, в свою очередь, приведет к приращению функции: . Так как , а , то приращение функции определяется выражением:
.
Применим к полученному выражению теорему о среднем в определенном интеграле:
, где .
Составим отношение . Чтобы получить производную , перейдем в составленном отношении к пределу: . Так как , то при стремлении точка будет стремиться к . Следовательно, вычисление предела приведет к выражению: . Из доказанной теоремы следует, что – это первообразная от , следовательно, определенный интеграл также является первообразной от , и вычислять его, очевидно, необходимо с помощью тех же приемов, что и неопределенный интеграл.
Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложную задачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однако полученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяет получить простой метод для вычисления этих интегралов. Теорема. Если какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула: . В предыдущем пункте было показано, что – это первообразная от функции . Но как было показано при изучении неопределенного интеграла, любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Поэтому, если какая-то другая первообразная от той же функции , то . Оказывается, что в случае определенного интеграла постоянную можно вычислить. Действительно, так как может принимать любые значения между и (п. 1), то пусть . Тогда: . Но определенный интеграл с равными пределами равен нулю, следовательно, . Значит,
.
Положим теперь, что , тогда
.
Полученное выражение называется формулой Ньютона – Лейбница. Другая форма записи этого выражения следующая:
.
Обычно в полученных выражениях переменная интегрирования обозначается буквой . Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти любую первообразную от и вычислить разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Полученная простая формула позволяет легко находить решения многих математических и прикладных задач, связанных с вычислением определенного интеграла.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (162)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |