Построение касательной
Чтобы провести касательную к улитке Паскаля в ее точке M, соежиняем последнюю с полюсом O. Точку N основной окрудности K, диаметрально противополжную точке P, соединяем с M. Прямая MN будет нормалью к улитке. Проводя MT MN, получим искомую касательную. Задача
Дана улитка Паскаля с полюсом в точке O. Написать уравнения в прямоугольной и полярной системах координат. Решение: Пусть начало координат – в полюсе O, ось OX направлена по лучу OB. Тогда уравнение в прямоугольной системе координат будет иметь вид:
. (1)
Строго говоря, это уравнение представляет фигуру, состоящую из улитки Паскаля и полюса O, который может и не принадлежать определенному выше геометрическому месту (такой случай имеет место для линий 3 и 4 на рис.6). Уравнение в полярной системе (O – полюс, OX – полярная ось):
, (2)
где меняется от какого-либо значения до .
Лемниската Бернулли Определение
Лемниската есть геометрическое место точке, для которых произведение расстояний от них до концов данно отрещка равно . Точки F1, F2 называются фокусами лемнискаты; прямая F1F2 – ее осью. Исторические сведения
В 1694 г. Якоб Бернули в работе, посвященной теории приливов и отливов, использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он задает уравнением . Он отмечает сходство этой линии (рис.8) с цифрой 8 и узлообразной повязкой, которую он именует «лемниском». Отсюда называние лемниската. Лемниската получила широкую ивестность в 1718 г., когда итальянский математик Джулио Карло Фаньяно (1682 – 1766) установил, что интеграл, представляющий длину дуги лемнискаты, не выражается через элементарные функции, и тем не менее лемнискату можно разделить (с помощью линейки и циркуля) на n равных дуг при условии, что или или , где m – любое целое положительное число.
Лемниската есть частный вид линии Кассини. Однако, хотя линии Кассини получили всеобщую известность с 1749 г., тождественность «восьмерки Кассини» с лемнискатой Бернули была уставновлена лишь в 1806 г. (итальянским математиком Саладини).
Построение
Можно применять общий способ построя линия Кассини, но нижеизложенный способ (К. Маклорена) и проще и лучше. Строим (см. рис.) окружность радиуса с центром в точке F1 (или F2). Проводим произвольную секущую OPQ и откладываем на этой прямой в обе стороны от точки O отрезки OM и OM1, равные хорде PQ. Точка M опишет одну из петель лемнискаты, точка M1 – другую.
Особенности формы
Лемниската имеет две оси симметрии: прямую F1F2 (OX) и прямую OY OX. Точка O – узловая; обе ветви имеют здесь перегиб. Касательные в этой точке составляют с осью OX углы . Точки A1,A2 лемнискаты, наиболее удаленные от узла O (вершины лемнискаты), лежат на оси F1F2 на расстоянии от узла.
Свойства нормали.
Подяоный радиус OM лемнискаты образует с нормалью MN угол , вдвое больше полярного угла :
.
Другими словами: угол между осью OX и вектором NN' внешней нормали лемнискаты в точке M равен утроенному полярному углу точки M:
.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (193)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |