Семейства вейвлет-функций

Можно привести несколько ярких представителей семейств вейвлет-функций

Haar

Daubechies

Morlet -преобразование

Mexican Hat -преобразование

Непрерывное прямое вейвлет-преобразование

Для создания НВП необходимо выполнить следующих пять шагов:

1. Взять вейвлет и установить его на начальный интервал исходного сигнала.

2. Вычислить коэффициент С, который показывает как тесно коррелированны вейвлет и сигнал на этом интервале. Высокое значение С означает большую схожесть. Заметьте, что результаты будут зависеть от формы вейвлета, выбранного Вами.

3. Сдвинуть вейвлет вправо и повторять шаг 1 и 2 до тех пор, пока Вы не исследуете весь сигнал.

4. Масштабировать (растянуть) вейвлет и повторить шаги 1 – 3.

5. Повторить шаги 1 – 4 для всех масштабов.

После выполнения данной последовательности, будут рассчитаны коэффициенты С, полученные для разных масштабов и разных интервалов сигнала.

Можно построить график, на котором ось абсцисс представляет позицию вдоль сигнала (время), ось ординат представляет масштаб, а цвет точек графика представляет значение вейвлет – коэффициентов С. Ниже представлены графики коэффициентов, выполненные с помощью графического инструментария.

Трёхмерное представление результатов расчёта – графики коэффициентов напоминают вид сверху на неровную (ухабистую) поверхность.

Это график коэффициентов непрерывного вейвлет преобразования сигнала во временной области. Этот вид информации о сигнале отличается от частотно-временного вида (Фурье), но они связаны.

Из графиков видно, что чем выше масштаб, тем «протяженнее» вейвлет. Чем протяженнее вейвлет, тем длиннее часть сигнала, с которой он сравнивается, и более крупные черты сигнала будут измерены вейвлет коэффициентами.

Таким образом, есть связь между масштабом вейвлет и частотой, как показано вейвлет анализом:

Малый масштаб а Þ Сжатый вейвлет Þ быстро изменяющиеся составляющие Þ высокая частота w.

Большой масштаб а Þ Растянутый вейвлет Þ медленно изменяющиеся, крупные черты Þ низкая частота w.

Непрерывное обратное вейвлет-преобразование

Обратное непрерывное вейвлет-преобразование осуществляется по формуле реконструкции во временной области. Одна из форм может быть представлена

где f ( t ) – восстановленный сигнал, y (t)– вейвлет-функция, С( t , a ) – вейвлет коэффициенты, которые являются функцией позиции t и масштаба a, K _y – коэффициент, зависящий от выбора вейвлет-функции, R – область ограничения сигнала.