Фильтры нижних частот. Общий случай

Фильтр нижних частот представляет собой устройство, которое пропускает сигналы низких частот и задерживает сигналы высоких частот. В общем случае определим полосу пропускания как интервал частот 0<w<w_с, полосу задерживания как частоты w>w₁ переходную область как диапазон частот w_c<w<w₁ (w_c – частота среза). Эти частоты обозначены на рис. 1.5.1, на котором приведена реальная амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот, где в данном случае заштрихованные области представляют собой допустимые отклонения характеристики в полосах пропускания и задерживания.

Если минимальное затухание выбрать за нормированный уровень 0 (А =1 на рис. 2.1), то логарифмическая характеристика фильтра нижних частот имеет вид, изображенный на рис. 1.5.2. Максимальное затухание в децибелах в полосе пропускания составляет α₁, а минимальное затухание в полосе задерживания α₂ (А₁ и А₂ – соответственно значения амплитудно-частотной характеристики). Затухание α₁ не может превышать 3 дБ, в то время как типовое значение α₂ значительно больше и может находиться в пределах от 20 до 100 дБ.

Рис. 1.5.1 Реальная амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот

Рис. 1.5.2. Логарифмическая характеристика: фильтра нижних частот

Коэффициент усиления фильтра нижних частот представляет собой значение его передаточной функции при s=0 или, что эквивалентно, значение его амплитудно-частотной характеристики на частоте w=0. Следовательно, коэффициент усиления реального фильтра с амплитудно-частотной характеристикой, показанной на рис. 1.5.1, равен А.

Существует много типов фильтров нижних частот, удовлетворяющих данному набору технических требований, таких, как А, А₁A₂, w_c и w₁ обозначенных на рис. 1.5.1, или α₁, α₂, w_c и w₁ – на рис. 1.5.2. Фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсные Чебышева и эллиптические образуют четыре наиболее известных класса. Фильтр Баттерворта обладает монотонной характеристикой, подобной характеристике на рис. 1.5.1 и 1.5.2. (Характеристика является монотонно спадающей, если она никогда не возрастает с увеличением частоты.) Характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации (колебания передачи) в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания. На рис. 1.5.3 изображен вид характеристики фильтра Чебышева шестого порядка. Инверсная характеристика фильтра Чебышева монотонна в полосе пропускания и обладает пульсациями в полосе задерживания. Пример характеристики фильтра шестого порядка приведен на рис. 1.5.4.

Амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра нижних частот удовлетворяет обозначенным на рис. 1.5.1 (или на рис. 1.5.2) условиям для данного порядка п и допустимого отклонения в полосах пропускания и задерживания при минимальной ширине переходной области. Таким образом, если заданы значения A, A₁, А₂, nи w_c, то значение частоты w₁ минимально. Для полиномиальной характеристики оптимальной является характеристика фильтра Чебышева. Однако в общем случае оптимальным является эллиптический фильтр, характеристики которого значительно лучше характеристик фильтра Чебышева.

Рис. 1.5.3. Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева шестого порядка

Рис. 1.5.4. Амплитудно-частотная характеристика инверсного фильтра Чебышева шестого порядка