Итерация Гаусса-Зейделя.
Процесс итерации Якоби иногда можно модифицировать для ускорения сходимости. Отметим, что итеративный процесс Якоби производит три последовательности – {х1(k)}, {х2(k)}, {х3(k)}, {х4(k)}. Кажется разумным, что х1(k+1) может быть использовано вместо х2(k). Аналогично х1(k+1) и х2(k+1) можно использовать в вычислении х3(k+1). Например, для уравнений из системы (1) это даст следующий вид итерационного процесса Гаусса-Зейделя, использующий (3*): Такой итерационный процесс даст результаты:
Т. е. к точному решению мы пришли уже на 10-ом шаге итерации, а не на 19, как в итерации Якоби. Вывод. 1. Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы. Для этого система приводится к виду (для случая системы из четырех уравнений):
Эти формулы как раз и задают собственно итерационный процесс. 2. При этом чтобы итерационный процесс сходился к точному решению, достаточно, чтобы все коэффициенты системы были малы по сравнению с диагональными. Это условие можно сформулировать и более точно: Для сходимости процесса итераций достаточно, чтобы в каждом столбце сумма отношений коэффициентов системы к диагональным элементам, взятым из той же строки, была строго меньше единицы: 3. Следует так же сказать, что итерационный процесс может проводиться как в виде итерации Якоби, так и в виде итерации Гаусса-Зейделя. В последнем случае сходимость итерационного процесса может существенно улучшиться.
II. Практическая часть. Метод обратной матрицы. Метод обратной матрицы | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x1 | x2 | x3 | x4 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 12 | -4 | 0 | 6 |
| 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A= | -4 | 21 | 5 | 3 | B= | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| -3 | 2 | -22 | 1 |
| -2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| -2 | -3 | 5 | 23 |
| 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0,083 | 0,013 | -0,002 | -0,023 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A-1= | 0,016 | 0,048 | 0,009 | -0,011 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| -0,009 | 0,003 | -0,044 | 0,004 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0,011 | 0,007 | 0,010 | 0,039 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x= | 0,129 |
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0,165 |
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0,097 |
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0,186 |
|
|
|
|
|
Метод Крамера.
Метод Крамера
x1
x2
x3
x4
12
-4
0
6
2
A=
-4
21
5
3
B=
4
-3
2
-22
1
-2
-2
-3
5
23
4
'A'=
-134088
2
-4
0
6
A1=
4
21
5
3
-2
2
-22
1
4
-3
5
23
'A1'=
-17296
x1=
0,129
12
2
0
6
A2=
-4
4
5
3
-3
-2
-22
1
-2
4
5
23
'A2'=
-22188
x2=
0,165
12
-4
2
6
A3=
-4
21
4
3
-3
2
-2
1
-2
-3
4
23
'A3'=
-12980
x3=
0,097
12
-4
0
2
A4=
-4
21
5
4
-3
2
-22
-2
-2
-3
5
4
'A4'=
-24896
x4=
0,186
x=
0,129
0,165
0,097
0,186
Метод Гаусса.
Метод Гаусса
x1
x2
x3
x4
12
-4
0
6
2
A=
-4
21
5
3
B=
4
-3
2
-22
1
-2
-2
-3
5
23
4
'A'=
-134088
1,000
-0,333
0,000
0,500
0,167
-4,000
21,000
5,000
3,000
4,000
-3,000
2,000
-22,000
1,000
-2,000
-2,000
-3,000
5,000
23,000
4,000
1,000
-0,333
0,000
0,500
0,167
0,000
25,333
5,000
5,000
4,667
0,000
1,000
-22,000
2,500
-1,500
0,000
-3,667
5,000
24,000
4,333
1,000
-0,333
0,000
0,500
0,167
0,000
1,000
0,197
0,197
0,184
0,000
0,000
-22,197
2,303
-1,684
0,000
0,000
5,724
24,724
5,009
1,000
-0,333
0,000
0,500
0,167
0,000
1,000
0,197
0,197
0,184
0,000
0,000
1,000
-0,104
0,076
0,000
0,000
0,000
25,317
4,574
x=
0,120
0,130
0,095
0,181
Листинг программы (Метод Крамера, Метод Гаусса, Метод обратной матрицы).
2020-03-19 | 176 | Обсуждений (0) |
5.00
из
|
Обсуждение в статье: Итерация Гаусса-Зейделя. |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы