математики (Вместо заключения).

Разворачивание математических пространственно-временных конструкций способно вызывать особое чувство красоты, которое без сомнения служит важнейшим психологическим стимулом, как к профессиональным, так и к любительским занятиям математикой. Как всякая подлинная красота, математическое действо обладает магическим обаянием. Оно способно создать в нас ощущение прикосновения к тайне, а порой и религиозный восторг.

Это безошибочно угадал особенно чуткий к такого рода вещам Новалис (Фридрих фон Гарденберг, 1772-1801). В его “Фрагментах” (в первую очередь имеются в виду “гимны к математике”, как назвал их Вильгельм Дильтей) мы находим отчетливое выражение этих мыслей: “Истинная математика - подлинная стихия мага. Истинный математик есть энтузиаст per se. Без энтузиазма нет математики. Жизнь богов есть математика. Чистая математика - это религия. На Востоке истинная математика у себя на родине. В Европе она выродилась в сплошную технику” [19, с.153]. Новалис убежден, что поэт понимает природу лучше, чем ученый. Не ученому и созданной благодаря его усилиям технике дано овладеть миром, но поэту, способному расслышать сокровенный ритм мироздания. Не извне, но изнутри обретается мир. “Истинная математика” Новалиса - это та математика, которая позволяет нам уловить этот скрытый ритм. “Всякий метод есть ритм: если кто овладел ритмом мира, это значит, он овладел миром. У всякого человека есть свой индивидуальный ритм. Алгебра - это поэзия. Ритмическое чувство есть гений” [19, с.152].

Современная математическая культура мало располагает нас к пониманию того, что это за истинная математика (которая в то же время есть истинная поэзия, истинная религия и истинная магия), о которой так вдохновенно говорит Новалис ⁽¹⁵⁾ . Может быть поэтому мы так плохо понимаем и математику пифагорейско-платонической традиции, а также многие другие феномены европейской духовной культуры столь же необычно для нас воспринимающие математику и развивающие ее. И дело здесь не столько в культурной гордыне, сколько в реальных барьерах мешающих пробиться к существу реалий иной культуры. Пример того, что удается увидеть современному математику, обратившемуся к “второстепенным страницам истории” дает книга Дэна Пидоу “Geometry and the Liberal Arts” (1976). Автору остается лишь огорчаться, что мы утратили способность восхищаться природой простых геометрических фигур, и надеяться, что “неопифагорейские учения все же получат распространение в культуре грядущих поколений” [20, с.207]. Несомненно, более удачными следует признать попытки П.А.Флоренского и А.Ф.Лосева, которые и явились главными вдохновителями моего интереса к данной области, однако внимательное знакомство с их трудами еще раз убеждает насколько серьезные трудности приходится преодолевать на этом пути.

Мартин Дайк, автор монографии, посвященной математическим фрагментам Новалиса, говорит о своей книге: “Настоящее исследование отчасти предпринято для тех математиков-профессионалов, которым может случиться ознакомиться с фрагментами Новалиса и обнаружить, что математические понятия применяются здесь, хорошо или плохо, но к таким предметам, которые не принято рассматривать математически, которые не укладываются в рамки установившихся математических представлений, и это будет склонять их к выводу о том, что такие фрагменты не могут, вероятно, иметь какого-либо смысла. Можно принять с самого начала, что эти относящиеся к математике фрагменты философичны, но не техничны. С позиции строгого математика они неточны (unrigorous), произвольны (arbitrary) и не вносят никакого вклада в технические аспекты математической науки. Не успевает Новалис проникнуть в великолепное по своей стройности здание математики, как оказывается, что он уже успел незаконным образом расширить его границы (transgressed its boundaries), углубившись в джунгли философских идей, в которые ни один математик, оставаясь математиком, не решится за ним последовать, из опасения, что почва там слишком зыбкая (the ground too slippery) и доказательство бессильно укротить (and prove defenceless among) диких зверей, населяющих эти темные области”. Желая следить за полетом мысли Новалиса, уводящей нас в этом направлении, мы не можем обойтись без постоянной оглядки на официально принятые результаты, постоянного соотнесения с общепринятым содержанием тех математических областей, в которые он вторгается, однако “нам не следует использовать эти официальные стандарты в качестве абсолютных и пригодных для любой ситуации мерок (as measuring rods with absolute and exclusive value)”, и тогда “в его на первый взгляд фантастичных идеях о математике можно будет разглядеть глубокие прозрения о природе этой науки” [41, p.2-3].

То, что говорит М.Дайк о современном математике-профессионале, может быть, к сожалению, слишком часто повторено и о современном историке математики, над которым также в полной мере имеют власть стереотипы профессионального математического образования. В результате, мы попросту весьма плохо знаем “второстепенные” страницы истории математики, а тем более плохо представляем себе их роль в развитии того, что помещается нами на “основных” ее страницах. Книга М.Дайка представляет собой скорее исключение, чем правило. Но можно ли априори утверждать, что роль эта невелика, когда мы едва знаем в лицо тех, чью роль спешим умалить?

Историческое исследование неизбежно предполагает отбор материала. История культуры может быть уподоблена сложнейшей паутине, где каждое культурное событие есть “узелок”, связанный необозримым числом тончайших “нитей” с другими “узелками”. Поэтому, всякое изучение этой “паутины” состоит в выделении основных “узелков” и связей между ними, и игнорировании второстепенных. Однако, вызывает серьезные сомнения возможность адекватной и однозначной оценки “на глаз” того, какие “узелки” и какие “нити” являются основными. В отношении “зрительного восприятия” такой “паутины”, судя по всему, может и должен проявляться хорошо известный эффект переключения зрительного гештальта. При этом переключении выбор основных “узелков” и “нитей” может существенно изменяться. Какую конфигурацию “узлов” и “нитей” мы выделим из необозримого множества всех возможных, зависит от нашей установки. Что мы “увидим” (“два профиля” или “вазу”) зависит от нас. Наше математическое образование готовит нас к тому, чтобы всегда видеть “два профиля” и никогда “вазу”, но это вовсе не означает, что первое представляет собой адекватное выделение основного, тогда как второе - нет. Пафос настоящего доклада как раз и состоит в том, чтобы напомнить о возможности смотреть как на саму математику, так и на ее историю sub specie artis, т.е. видеть “вазу” там, где обычно видят лишь “два профиля”.

Приведем еще несколько примеров традиционно “второстепенных” страниц истории математики, которые, с проводимой нами точки зрения, оказываются в числе основных.

О йенском профессоре математики и астрономии Эрхарде Вейгеле (Erhard Weigel, 1625-1699) можно сейчас услышать в основном в связи с биографией Лейбница, на которого он оказал неоспоримое влияние. Некогда “всемирно известный”, “знаменитейший профессор математики”, создавший в Йене сильную школу математики и физики [10, с.135] в настоящее время практически полностью забыт. Уже для Морица Кантора математика Вейгеля всего лишь пример характерного для немецких университетов того времени отсутствия потребности в математике [29, с.8-9]. В настоящее время, многочисленные работы Вейгеля практически невозможно найти в библиотеках, они не переиздаются и не переводятся. Редко в каком энциклопедическом словаре найдешь статью о нем. В чем же дело? А дело в том, какой математикой занимался Вейгель.

В центре его внимания - создание единой системы знания (включающей в себя как богословие, так и все явления физического и социального порядка) на основе универсального логико-математического метода, и реформа на этой основе современной ему системы образования. Он убежден во всеобщей приложимости математического метода и стремится к сближению на этой почве всех отраслей человеческого знания. Его девиз: omnia mensura, numero et pondere. На основе сочетания метода Евклида (сведение содержания науки к ее основным элементам) и Аристотеля (выведение из этих элементов следствий посредством силлогизма) он стремится построить рациональную теорию науки, задача которой - познать мир как sillogismus realis. При этом аксиомы выступают как законы природы, а выводимые из них следствия являются не только необходимыми, но и реальными. Вейгель развивает идею “всеобщей математики” (Mathesis universae) или “пантометрии” (Pantometria), которая распространяется им не только на физический, но и на гражданский мир. Позднее он будет развивать мысль, что “пантогнозия” (Pantognosia), или способ точно знать, что бы то ни было, сводится к измерению и счету всех предметов познания, ибо достоверно только количественное знание. Отсюда естественно вытекает “пантология” (Pantologia) - взгляд на мир, как на такую систему вещей, в которой все имеет свою логику. В этом контексте он писал о моральной арифметике, т.е. о сведении всех нравственных качеств к количествам; разрабатывал практическую этику на арифметической основе; занимался изучением проблемы зла с математической точки зрения; доказывал “геометрически” бытие Божие и т.д. [29; 10, с.39-41].

Еще одна страничка истории математики, в интересующем нас аспекте, - это деятельность Юзефа Гоэнэ-Вронского (J.M.Hoёne-Wroсski, 1776-1853). Она, наряду с размышлениями Декарта, Вейгеля, Лейбница, Новалиса и многих других, оказывается важным “узелком” в истории весьма значимой для развития математики Нового времени идеи Mathesis Universalis. Как и Новалис, Вронский опирался в своих рассуждениях на философию математики Канта. Судьба математических работ польского математика-философа в XIX веке весьма напоминала судьбу наследия Вейгеля, а отношение к идеям Вронского со стороны общепризнаной математики В.В.Бобынин описывал так: “В продолжении всей его жизни официальная наука с настойчивостью, достойной лучшей участи, постоянно отказывала ему в признании научного значения его трудов по философии математики, хотя, строго говоря, в последователях его учения и не было недостатка” [6, с.10]. В процитированной работе 1886 года Бобынин называет Вронского “самым выдающимся, даже можно сказать, пока единственным, представителем философии математики - науки, только еще создающейся, но имеющей в будущем подчинить себе все дальнейшее развитие наук математических” [6, с.1]. Пророчество Бобынина о будущем значении работ Вронского пока не оправдалось. Правда, в XX веке философско-математическим сочинениям Вронского посчастливилось более: в 1925 г. они были переизданы, а в 1939 о “loi supreme” Вронского появилась статья такого крупного математика как Стефан Банах. Впрочем, как в прошлом веке, так и в нынешнем слишком подозрительной продолжает выглядеть для большинства математически образованных людей тесная связь математических рассуждений Вронского с “мессианизмом”, “абсолютной философией” и т.п. [40].

Убежденность в единственности привычного и общепринятого взгляда на то, что такое “настоящая математика”, не дает даже подойти к изучению философско-математических работ Новалиса, Вейгеля, Вронского, или Карла Эккартсхаузена (K. von Eckartshausen, 1752-1803). Эти работы написаны с точки зрения другого понимания математики и требуют для своего изучения умения посмотреть на них под тем углом зрения, под которым рассматривали их авторы, умение признать за этим углом зрения хотя бы минимальную, “стартовую”, ценность. На мой взгляд, здесь открывается обширное поле для исследований. Мои собственные первые робкие шаги в этом направлении и представлены в изложенных выше рассуждениях о математической мифологии и пангеометризме.

Примечания.

1. “Чувственное созерцание может быть сравнено с линией, а умственное - с кругом” [23, с.61]. Предлагаемая Плотином аналогия восходит к “Тимею” Платона.

2. Заслуживает всяческого внимания, что как приверженцы, так и противники математики в философии (философской математики, математизированной философии) находят главные свои аргументы у Платона, т.е., защищая диаметрально противоположные позиции, они развивают мысли происходящие из общего источника (Платон и неоплатоники). Как правило, такая странность связана с пониманием критики Платоном неправильного отношения к математике как решающего аргумента против математики вообще, а противоположности математического и диалектического методов как несовместимости математики и философии вообще (Кант, Гегель, В.Гамильтон). И в первом и во втором случае полностью игнорируется возможность и действенность математической диалектики.

3. Близкий образ встречается у Плотина: Единый (Единое) “созерцается во множестве существ, в большей или меньшей степени способных воспринять и отображать его в себе, но который отличен и обособлен от всех их, подобно тому, как один центр в круге остается один сам по себе, между тем как множество радиусов со всех точек периферии к нему сходятся” [23, с.66; курсив мой].

4. Аналогия, используемая Лейбницем в этом довольно мутном отрывке, может быть разъяснена следующим образом: как отрезки могут быть между собой либо соизмеримыми, либо - нет, причем, в первом случае, процедура нахождения общей меры, - показывающая, что один из отрезков составлен из тех же частей, что и другой, - может быть осуществлена за конечное число шагов, а во втором - уходит в бесконечность, так и истины могут быть либо необходимыми, либо случайными, причем, в первом случае, за конечное число шагов может быть показано, что предикат состоит из тех же частей, которые имеются в субъекте, а во втором - процедура анализа уходит в бесконечность.

5. П.А.Флоренский не ограничивался работой с математическими конструкциями как парадигмальными схемами. Он один из немногих, кто осознанно стремился к возрождению математического мифа в его полноте. Вслед за ним в этом направлении шел и А.Ф.Лосев.

6. Пространство и время определяются Кантом как обязательный компонент всякого созерцания: отбрасывая в созерцании все, что может быть отброшено, мы в конечном итоге получаем пространство и время в чистом виде. См. [11, т.3, с.64, т.4, с.38]. По существу, априорное созерцание (пространство и время) оказывается у Канта тем самым, что не может быть отброшено ни из какого созерцания, и обнаруживается нами в ходе мысленного эксперимента, состоящего в отбрасывании всего, что отбросить возможно.

7. Кстати сказать, эта, рецептивная, сторона геометрической мысли осталась не достаточно отмеченной Кантом. Чистое созерцание Канта, заменившее геометрическую материю платоников, не есть уже некая среда со своими собственными потенциями, которые и раскрываются в геометрических рассуждениях. В математике “понятие о предмете дается дефиницией первоначально”, “математические дефиниции создают само понятие”, а предмет рассмотрения математика “не может содержать в себе ни больше, ни меньше, чем понятие” [11, т.3, с.538-539]. Нет дефиниции, - нет понятия о предмете, а тем самым и самого предмета (содержащего в себе ровно столько, сколько понятие). Здесь как бы нет предмета, свойства которого стремится уловить дефиниция, ведь эта последняя “ниоткуда не выводится”. Желая во всем противопоставить математику и философию, Кант доходит в своих рассуждениях почти до абсурда: утратив отличный от нее предмет рассмотрения математическая дефиниция (понятие) становится чистым произволом. Вряд ли Кант действительно придерживался такой точки зрения, (чистый произвол не может служить источником синтеза), однако в пылу полемики он оказывается в опасной близости от этой грани.

8. Конечно, можно вспомнить Я.Штейнера, никогда не пользовавшегося на своих лекциях никакими рисунками, или Дистервега, даже специально затемнявшего помещение во время семинарских занятий по геометрии [13, с.146], однако, это скорее исторические казусы, чем закономерность. Нетрудно догадаться, что способность слушателей следить за рассуждениями этих геометров предполагала уже определенный опыт геометрического мышления использующего эмпирические пособия.

9. Хотелось бы обратить особое внимание на близость развиваемых в настоящем докладе идей с взглядами американского психолога, специалиста в области психологии искусства, Рудольфа Арнхейма, изложенными в его книге “Visual Thinking” (1969) [39]. Арнхейм как раз подходит к математике sub specie artis и (в силу этого) обращает внимание преимущественно на те же культурные феномены, которые оказались и в центре моего внимания. Попытка прояснить сложившиеся у меня в ходе получения математического образования и опыта преподавания математики представления о математическом мышлении (да и мышлении вообще) привели меня к взглядам, оказавшимся в самом близком родстве с представлениями Макса Вертхеймера о творческом мышлении (productive thinking) [8] и, в особенности, с идеями Арнхейма, также явно примыкающими к гештальт-психологии. “Продуктивное мышление - говорит Арнхейм - по необходимости основано на перцептуальных образах и, наоборот, активное восприятие включает в себя отдельные аспекты мышления” [3, с.165]. “Только то, что, по крайней мере, в принципе доступно наглядному воображению, может поддаваться и человеческому пониманию” [2, с.78-79]. Имеется “близкое родство перцептуального опыта и теоретического рассуждения”, поэтому “между искусствами и науками нет большой разницы; также нет пропасти и между использованием картин и употреблением слов” [3, с.167]. Самое прямое отношение к нашей теме имеют взгляды Арнхейма на природу абстракции, на различение статических и динамических понятий, на противопоставление фигуры и фона, как основу простейших систем образов (в частности, образов математических) и т.д. Понятие же “хорошего гештальта” (Вертхеймер) дает ключ к пониманию того, что такое математическая красота. Впрочем, использование наработок гештальт-психологов в области психологии мышления для целей философии математики требует отдельного обсуждения.

10. Развитие этой мысли означает разговор о социокультурной природе феномена математики. Перед нами мостик, позволяющий нам ощутить социокультурную гибкость выдвигаемого взгляда. Его гибкость определяется исторической изменчивостью понимания слов “пространство”, “время”, “пространственно-временное конструирование” и т.п. Однако, социокультурная природа рассматриваемого феномена гарантирует нам не только гибкость и изменчивость, но и преемственность, сохранение “семейного сходства” (Л.Витгенштейн) посредством “социальных эстафет” (М.А.Розов) (см. также введение к настоящему докладу).

11. Уже Аристотель заметил, что математик не нуждается для своих рассуждений в представлении слишком больших величин, ведь его интересуют не сами величины, а их отношения, но “в том же отношении, в каком делится самая большая величина, можно было бы разделить и какую угодно другую” (Phys., III, 7) [1, с.121]. Следовательно, все воображаемые математиками конструкции, без всякого для них вреда, могут быть уложены в рамки конечного аристотелевского космоса. А коль скоро мы хотим говорить о нашей индивидуальной способности воображать - в границы между верхним и нижним порогами восприятия; нужно лишь вовремя менять масштаб: гомотетичным образом увеличивать или уменьшать всю конструкцию.

12. Хотелось бы сделать некоторые замечания, проясняющие отношение высказываемой точки зрения на роль времени и движения в математике к позициям платонической традиции и Канта. Хотя Аристотель (Met., VI, 1) и предлагает отличать математику от физики по неподвижности предмета изучения первой, однако, намеченное у него же учение о специфической материи математических предметов (Met., VII, 10-11; VIII, 6) естественно ведет к мысли и о наличии становления (движения в широком аристотелевском смысле) в этой области: ведь всякая материя есть не только лишенность формы, но и обязательно ее возможность, а всякая возможность раскрывает себя лишь переходя в действительность, т.е. предполагает наличие становления. Таким образом, можно говорить о математическом становлении (Met., IX, 9), однако математика интересует не само становление (это специфический предмет аристотелевской физики), а лишь его результат. Этот взгляд подтверждается и Проклом [24]: с одной стороны, геометрия определяется у него как изучающая величины в покое (в отличие от астрономии, изучающей величины в движении, и охарактеризованной в связи с этим Аристотелем как самая физическая из математических дисциплин - Phys., II, 2), а, с другой стороны, внутри самой геометрии различаются проблемы и теоремы, что напрямую связывается Проклом с различением становления и бытия [27].

Время, согласно Канту, “мы можем мыслить не иначе, как обращая внимание при проведении прямой линии (которая должна быть внешне образным представлением о времени) исключительно на действие синтеза многообразного, при помощи которого мы последовательно определяем внутреннее чувство, и тем самым имея в виду последовательность этого определения. Даже само понятие последовательности порождается, прежде всего, движением как действием субъекта (но не как определением объекта)” [11, т.3, с.142]. Кант весьма настороженно относится к движению в геометрии, как науке основанной на чистом созерцании. Ведь “понятие движения, соединяющее в себе и пространство и время, предполагает нечто эмпирическое” [11, т.3, с.78]. Поэтому он предлагает различать “движение объекта в пространстве”, которое “не подлежит рассмотрению в геометрии, так как подвижность чего бы то ни было познается не a priori, а только опытом”, и “движение как описание пространства”, которое есть “чистый акт последовательного синтеза многообразного во внешнем созерцании вообще при помощи продуктивной способности воображения” [11, т.3, с.142] - без которого невозможна геометрическая мысль, и которое было охарактеризовано выше как “действие субъекта, но не определение объекта”. Это кантовское различение двух видов движения вполне соответствует платоническому различению становления эмпирического и становления геометрического.

Невозможно не упомянуть здесь также о возводимой обычно к Канту идее об особой связи геометрии с созерцанием пространства, а арифметики с созерцанием времени. В самом деле, у Канта читаем: “Геометрия кладет в основу чистое созерцание пространства. Арифметика создает понятия своих чисел последовательным прибавлением единиц во времени” [11, т.4, с.38]. Это место действительно провоцирует такое понимание: как геометрия связана с пространством, так арифметика со временем. Именно так воспринимает это место Шопенгауэр: “На связи частей времени основано исчисление, слова в нем служат лишь для того, чтобы отмечать отдельные шаги последовательности; следовательно, на этой связи основана и арифметика, которая учит только методическому сокращению исчисления”. “Так же на связи положения частей пространства основана вся геометрия” [36, т.1, с.104]. Шопенгауэр не слишком хорошо разбирался в математике, однако эту же идею подхватывает такой крупный математик как В.Р.Гамильтон, в 1833 г. выпустивший “an elementary essay on Algebra as the Science of pure time” [13, с.206], впрочем, вынужденный признать, что уже введение вычитания требует пространственных представлений. Интересно, что более внимательное знакомство с Кантом убеждает, что никакого противопоставления арифметики, как опирающейся исключительно на созерцание времени, и геометрии, - как опирающейся исключительно на созерцание пространства, им не производится. Никакого представления пространства, свободного от представления времени быть не может: “время есть априорное формальное условие всех явлений вообще” [11, т.3, с.73]. Не может быть и представления времени, свободного от представления пространства - выше мы уже цитировали одно из мест первой Критики, где эта мысль высказывается, кроме того, можно указать на черновые заметки Канта специально развивающие эту мысль [11, т.8, с.651]. Мы всегда имеем дело с пространственно-временным комплексом представлений, который лежит в основании, как арифметики, так и геометрии, хотя акценты и могут расставляться различно. Подлинное же различие геометрии от арифметики и алгебры в типе конструирования - остенсивном в первом случае и символическом - во втором.

На ошибочность представления об особой связи геометрии с созерцанием пространства, а арифметики - с созерцанием времени, указывал Шпенглер. Однако он полагал, что эту ошибку совершил и сам Кант. “Колоссальной по своим последствиям - писал Шпенглер - и до сего дня еще не преодоленной ошибкой Канта было то, что он совершенно схематически установил связь внешнего и внутреннего человека с многозначными и, главное, не стабильными понятиями пространства и времени и тем самым совершенно ложным образом связал геометрию и арифметику, вместо которых здесь должна быть хотя бы упомянута более глубокая противоположность математического и хронологического числа. Арифметика и геометрия обе суть счисления пространства и в высших своих областях вообще не подлежат различению. Счисление времени, интуитивно вполне понятное наивному человеку, отвечает на вопрос “когда”, а не на вопрос “что” или “сколько” “ [37, с.132]. “Каждую логическую операцию - пишет Шпенглер далее - можно нарисовать. Каждая система есть геометрический способ обращения с мыслями. Оттого время лишено места в “системе” или падает жертвой ее метода. Тем самым опровергается и повсеместно распространенное недоразумение, поверхностным образом связующее время с арифметикой, а пространство с геометрией, заблуждение, которому не должен был бы подпасть Кант, хотя едва ли следовало ожидать чего-либо иного от Шопенгауэра с его непониманием математики. Поскольку живой акт счисления как-то соотносится со временем, число и время постоянно смешивали друг с другом. Но счисление не есть число, как рисование не есть рисунок. Счисление и рисование суть становление, числа и фигуры - ставшее. Кант и другие имели в виду в одном случае живой акт (счисление), а в другом - его результат (пропорции готовых фигур). Но одно относится к сфере жизни и времени, другое - к протяженности и каузальности. То, что я счисляю, подлежит органической логике; то, что я счисляю, - неорганической. Вся математика, - популярно выражаясь, арифметика и геометрия - отвечает на вопрос “как” и “что”, стало быть, на вопрос о естественном распорядке вещей. В противоречии с этим находится вопрос о “когда” вещей, специфически исторический вопрос - вопрос о судьбе, будущем и прошлом. Все это таится в слове “летоисчисление”, которое наивный человек понимает совершенно недвусмысленно. Между арифметикой и геометрией нет никакой противоположности. Каждый род числа <...> принадлежит во всем своем объеме к сфере протяженного и ставшего, будь то евклидова величина или аналитическая функция. А к какой из обеих сфер следовало бы отнести циклометрические функции, биноминальную теорему, римановы плоскости, теорию групп? Кантовская схема была уже опровергнута Эйлером и Д'Аламбером, прежде чем он успел ее сформулировать, и лишь неосведомленность более поздних философов по части современной им математики - в противоположность Декарту, Паскалю и Лейбницу, которые сами создавали математику своего времени из глубин собственной философии, - могла привести к тому, что дилетантские взгляды на отношение между временем и арифметикой продолжали передаваться по наследству, почти не встречая возражений. Но становление ни в чем не соприкасается с какой-либо областью математики” [37, с.282-283]. Эта обширная цитата приведена здесь не только как яркий пример протеста против связывания арифметики исключительно с созерцанием времени, а геометрии - с созерцанием пространства, но и как ярчайший пример протеста против представления о том, что время и становление вообще могут служить предметом применения математических методов. Однако хотя в главном Шпенглер, безусловно, прав, картина несколько сложнее, чем ему представляется. Обратим внимание, что среди приверженцев представления об особой связи алгебры и времени мы находим В.Р.Гамильтона, которого вряд ли можно упрекнуть в незнании современной ему математики. Это означает, что дело здесь не в дилетантизме, как полагает Шпенглер. Дело не в том, что математике и ее методам недоступны время и становление вообще, а в том, что время и становление в математике существенно иные, чем те историческое время и эмпирическое становление, о которых говорит Шпенглер. Более адекватным здесь оказывается платоническое представление о срединном характере математики (ее предмета и метода) - это и не полная свобода от времени и становления - вечное бытие эйдосов и созерцающего их ума, но и не собственно эмпирическое время и становление чувственно воспринимаемого космоса. Можно и нужно говорить о времени и становлении в математике, но помня, что это особые, математические, время и становление. Например, они не обладают уникальностью и неповторимостью исторического времени и эмпирического становления. В математике можно дважды войти в одну и ту же реку. Ее время и ее становление подобны времени и становлению кинофильма, который можно прокручивать еще и еще раз, и даже просмотреть в обратном порядке. Однако само событие, состоящее в том, что нам случилось прокрутить именно этот “математический кинофильм”, именно в это время и именно в этом месте, есть факт эмпирического и исторического порядка.

13. Следует заметить, что роль слова в математическом мышлении, да и в мышлении вообще, куда более заметна, чем это представлено в настоящем выступлении. Сосредоточив внимание на эстетическом аспекте математики, мы говорили преимущественно о созерцании и образе, оставив в тени неразрывно связанные с ними язык и понятие. Дело здесь не в недооценке последних, а в определенном угле зрения избранном в данной работе. В действительности я полагаю, что не только переход от геометрического к квазигеометрическому конструированию предполагает языковое посредничество, но и всякая геометрическая конструкция, да и всякий отчетливый образ вообще, невозможен вне опыта обговаривания, вне языковой обработки созерцательного фона. Созерцание и язык, образ и понятие не могут существовать друг без друга, их можно уподобить двум сторонам одной монеты [33, с.14-27; 21]. Образ и понятие неразрывно связаны не только в процессе генезиса, но и в процессе коммуникации. Приведем простой пример. Предположим, мы видим человека рисующего нечто. Просто глядя на то, что он рисует мы не имеем никакой возможности выяснить, что перед нами - художественно творчество или математическая деятельность, является ли то, что мы видим орнаментом или геометрическим чертежом. Способны ли мы вне опыта обговаривания отличить архитектурное сооружение от стереометрической модели? Ребенок, который растет в семье математиков, как правило, довольно рано начинает проявлять интерес к тем “закорючкам”, которыми его родители в изобилии покрывают бумажные листы. Он пробует подражать им, возможно не без некоторого успеха. Предположим, он собственноручно воспроизвел на листе бумаги цепочку формул. Является ли его деятельность математической? - Конечно, нет. Очень вероятно, что для ребенка эта цепочка формул обладает по преимуществу эстетической ценностью, но - это не математическая эстетика. Так же не является математикой игра в пятнашки, в крестики-нолики, в шахматы. Да и построение конечных цепочек знаков по определенным правилам (пусть даже позаимствованным из метаматематики!) станет математикой только в контексте связи этих правил с содержательной математической теорией, или с рассуждениями, выясняющими особенности пространственно-временной организации соответствующей системы знаков (проблемы эквивалентности, разрешимости, аксиоматического построения и т.п.). Подобным же образом предметом математического изучения могут быть сделаны и пятнашки, крестики-нолики или шахматы. Другими словами, математичность (или нематематичность) некоторой графики определяется не ей самой, а тем смысловым контекстом, который связывает ее с изучением пространственно-временных отношений, создать же этот контекст можно лишь словом.

14. Такая позиция диаметрально противоположна панарифметизму, представленному, например, работой Ауреля-Эдмунда Фосса (A.Voss) “О сущности математики” (1908). В этой работе читаем: “... разделим всю совокупность математических изысканий на чистую математику и области ее приложения. К последним мы относим геометрию и механику, понимая их в самом широком смысле. Чистая же математика есть наука о числах; а числа суть созданные нами знаки для упорядочивающей деятельности нашего рассудка, которые допускают сочетания друг с другом по определенным общим правилам. В учении о числах мы усматриваем поэтому подлинную сущность математики, а изъяснение того, как все другие представления, содержащиеся в понятии величины, могут быть подчинены понятию числа, составляет в пределах чистой математики переход к областям ее приложения” [32, с.17]. Если мы в настоящем докладе стремились подобраться к тайне математики через распространение на всю математику идеи геометрического построения, то Фосс делает то же самое в отношении идеи числа. Если мы смотрели на математику sub specie artis, то Фосс - с точки зрения внутриматематической тенденции к арифметизации математики, характерной для последней трети XIX века, в особенности для Берлинской школы К.Вейерштрасса.

15. Так, например, высказывание Новалиса “кривая линия есть победа свободной природы над правилом” [19, с.146], с его антиплатоническим пафосом, может быть должным образом понято лишь в контексте особой, онтологически выделенной, роли, отводимой платониками окружности и прямой (отброшенной еще в “Геометрии” Декарта!), а также платонического учения о материи.