Анализ переходного процесса в дискретной САУ при подаче ступенчатого воздействия

Краткое описание системы

 

Дана структурная схема системы управления:

 

Рис.1 Структурная схема

Где К - суммирующее устройство;

мЭВМ - микро-ЭВМ (сбор аналоговой и цифровой информации, обработка информации и формирование управляющих воздействий, вывод управляющих воздействий на объект);

ЦАП - цифро-аналоговый преобразователь;

АЦП - аналогово-цифровой преобразователь;

У - усилитель;

М - исполнительный механизм;

Д - электродвигатель

 

Рис.2 Функциональная схема

 

Построение математической модели САУ

 

Импульсную САУ можно представить как систему непрерывного действия, в которой происходит периодическое прерывание контура, осуществляемое импульсным элементом (ИЭ), Непрерывная часть (НП) импульсной системы играет роль фильтра низких частот.

 

Рис.3 Математическая модель САУ

 

, ;

Анализ устойчивости непрерывной САУ

 

Устойчивость замкнутой САУ проверяется по логарифмическим амплитудным и фазовым частотным характеристикам без применения корректирующего звена.

 

Рис.4 Структурная схема САУ для анализа устойчивости.

 

Передаточная функция разомкнутой системы:

 

Передаточная функция замкнутой системы:

 

 

Определитель Гурвица по коэффициентам знаменателя:

 

 

Все определители > 0. Делаем предположение, что система устойчива.

Для проверки построим амплитудно-фазовую частотную характеристику системы:

 

Рис.5 АФЧХ непрерывной системы.

 

Из Рис.5 видно, что годограф не охватывает точку (-1, j0). Делаем вывод, что система устойчива.

Анализ дискретных САУ

 

Рис.6 Структурная схема САУ без регулятора.

 

Передаточная функция разомкнутой системы:

 

 

Разложим дробь с применением метода неопределённых множителей:

Допустим

.

Тогда

 

Передаточная функция разомкнутой системы:

 

 

После сокращения получим:

 

 

Для использования аналога критерия устойчивости Гурвица, сделаем подстановку в знаменателе:

 

:

 

Найдём коэффициенты числителя:

 

Т.к. все определители > 0, то делаем вывод, что система устойчива.

 

Передаточная функция замкнутой системы:

 

 

Знаменатель ПФ:

 

 

Сделаем подстановку в знаменателе:

 

.

 

Найдём коэффициенты числителя:

 

Т.к. все определители > 0, то делаем вывод, что система устойчива.

 

Анализ переходного процесса в дискретной САУ при подаче ступенчатого воздействия

 

Подадим в систему ступенчатый сигнал:

 

 

Тогда выходной сигнал будет равен:

 

 

Сделаем обратное Z-преобразование выходного сигнала:

 

 

В результате получим переходной процесс:

 

Рис.7 Переходной процесс в системе без регулятора при подаче единичного ступенчатого сигнала.

Из графика видно, что перерегулирование в системе достигает 20%, время регулирования превышает 3 с (30 тактов), а установившаяся ошибка по положению равна 14%.

Чтобы получить более качественный переходной процесс, необходимо в систему включить ПИД-регулятор.

 

Рис.8 Структурная схема САУ с ПИД-регулятором.

 

Передаточная функция ПИД-регулятора:

 

 

Тогда передаточная функция замкнутой системы будет равна:

 

-преобразование выходного сигнала:

 

 

Обратное Z-преобразование выходного сигнала:

 

Получили переходной процесс:

 

Рис.9 Переходной процесс в системе с ПИД-регулятором при подаче единичного ступенчатого сигнала.

 

Из рис. 10 видно, что применение ПИД-регулятора положительно повлияло на качество переходного процесса. Перегулирование уменьшилось до 10%, установившаяся статическая ошибка по положению равна 0, а время регулирования значительно уменьшилось: на 15-м такте (1.5 с) ошибка равна 0.2%, а нулевого значения достигает на 40-м.

Для более тонкой настройки системы изменим коэффициенты КП и КD регулятора.

При КП =1.38, КD =0.38 получим следующий переходной процесс:

система автоматический управление устойчивость

 

 

Рис.10 Переходной процесс в системе с ПИД-регулятором при подаче единичного ступенчатого сигнала при отладке коэффициентов КП и КD регулятора.

Ошибка на 15-м такте не изменилась, но она уходит в 0 уже на 30-м такте.

Но вместе с тем мы добились более качественного переходного процесса при подаче линейно-нарастающего воздействия (см. пункт 6 с. 14)

Для большей убедительности приведём график переходного процесса с увеличением масштаба по оси Оу:

 

Рис.11 Переходной процесс в увеличенном масштабе

 

Проверка:

Проверку осуществляем при помощи операторно-рекуррентого метода.

Уберём из выходного сигнала единичное ступенчатое воздействие:

 

 

После преобразования формула для вычисления выходного сигнала принимает вид:

 

 

Составим рекуррентное уравнение с учётом начальных условий:

 

В результате вычисления получим:

 

 

Рис.12 Переходной процесс, полученный в результате проверки.

 

Разница результатов вычисления первым и вторым методами не превышает 0.3%.

Вывод: переходный процесс рассчитан правильно, все требования к быстродействию и качеству системы выполнены.