x2 биматричные игры. Ситуация равновесия

 

Мы предполагаем уделить основное внимание случаю, когда у каждого из игроков имеется ровно две стратегии, т. е. случаю т = п = 2. Поэтому нам кажется уместным выписать приведенные выше формулы именно для такого случая.

В 2 ´ 2 биматричной игре платежные матрицы игроков имеют следующий вид

 

, ,

 

вероятности

биматричная игра решение

 

а средние выигрыши вычисляются по формулам

 

 

где

,

 

Сформулируем основное определение.

Определение. Будем считать, что пара чисел

 

, ,

 

определяет равновесную ситуацию, если для любых р и q , подчиненных условиям одновременно выполнены следующие неравенства

 

 (1)

Пояснение. Выписанные неравенства (1) означают следующее: ситуация, определяемая смешанной стратегией (р*, q *), является равновесной, если отклонение от нее одного из игроков при условии, что другой сохраняет свой выбор, приводит к тому, что выигрыш отклонившегося игрока может только уменьшиться. Тем самым, получается, что если равновесная ситуация существует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.

Теорема 1 (Дж. Нэш). Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

Итак, равновесная ситуация существует. Но как ее найти?

Если некоторая пара чисел (р*, q *) претендует на то, чтобы определять ситуацию равновесия, то для того, чтобы убедиться в обоснованности этих претензий, или, наоборот, доказать их необоснованность, необходимо проверить справедливость неравенств (1) для любого р в пределах от 0 до 1 и для любого q впределах от 0 до 1. В общем случае число таких проверок бесконечно. И, следовательно, действенный способ определения равновесной ситуации нужно искать где-то в ином месте.

Теорема 2. Выполнение неравенств

 (1)

 

равносильно выполнению неравенств

 (2)

 

Иными словами, для того, чтобы убедиться в обоснованности претензий пары (р*, q *) на то, чтобы определять равновесную ситуацию, нужно проверить справедливость неравенства

 

 

только для двух чистых стратегий игрока А (р = 0 и р = 1) и неравенства

 

 

только для двух чистых стратегий игрока В ( q = 0 и q = 1).

Четыре неравенства (2) позволяют провести поиск точки равновесия вполне конструктивно.

Запишем средние выигрыши игроков Аи Вв более удобной форме.

Имеем

 

 

Обратимся к первой из полученных формул.

Полагая в ней сначала р = 1, а потом р = 0, получаем,

 

 

Рассмотрим разности

 

 

Полагая

 

 

получим для них следующие выражения

 

 

В случае, если пара (р, q ) определяет точку равновесия, эти разности неотрицательны

 

Поэтому окончательно получаем

 

 

Из формул для функции н_в ( р, q ) при q = 1 и q = 0 соответственно имеем

 

 

Разности

 

 и

 

с учетом обозначений

 

.

 

приводятся к виду

 

 

совершенно так же, как соответствующие разности для функции Н_А.

Если пара (р, q ) определяет точку равновесия, то эти разности неотрицательны

 

Поэтому

 

 

Вывод

 

Для того, чтобы в биматричной игре

 

, ,

 

 

пара (р, q ) определяла равновесную ситуацию, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств

 

, ,

 

, ,

где

 

.

 

Размещено на Allbest.ru