Векторный потенциал магнитного поля

Для расчета магнитных полей широко используют величину, которую называют векторным потенциалом (вектор-потенциалом) магнитного поля. Его обозначают . Это плавно изменяющаяся от точки к точке векторная величина, ротор которой равен магнитной индукции.

 (19)

Основанием для представления индукции в виде ротора от вектора-потенциала служит то, что дивергенция любого ротора тождественно равна нулю /3, с.107/.

Если вектор-потенциал как функция координат известен, то индукцию в любой точке поля определяют путем нахождения ротора от вектора-потенциала в соответствии с (19).

В электротехнических расчетах векторный потенциал применяют для двух целей /3, с.108/:

) определения магнитной индукции с помощью формулы (19);

) определения магнитного потока, пронизывающего какой-либо контур.

Векторный потенциал в произвольной точке поля связан с плотностью тока в этой же точке уравнением Пуассона:

 (20)

Решение этого уравнения относительно вектора-потенциала /3, с.109/ имеет вид:

 (21)

Единицей вектор-потенциала А является вольт-секунда на метр (В^. с/м).

Формула (21) дает общее решение уравнения (20). Вектор-потенциал в любой точке поля можно определить вычислением объемного интеграла (21). Последний должен быть взят по всем областям, занятым током.

Для практических расчетов более удобно использовать значение тока, а не его плотности. Для использования тока применим теорему Стокса, заменив объемный интеграл поверхностным, и выразим (21) в дифференциальной форме /3, с.111/:

 (22)

Составляющая векторного потенциала от элемента тока имеет такое же направление в пространстве, как и ток в элементе проводника.

Далее, получив выражение для вектор-потенциала, берем его ротор и получаем выражение для вектора магнитной индукции.

Взаимное соответствие электрического и магнитного полей

Между картинами электрического и магнитного полей в областях, не занятых током, может быть соответствие двух типов /3, с.113/. Первый тип - одинаково распределение линейных зарядов в электрическом поле и линейных токов в магнитном поле. В этом случае картина магнитного поля (сетка поля) подобна картине соответствующего электрического поля. Отличие состоит лишь в том, что силовым линиям электрического поля соответствуют эквипотенциальные линии магнитного поля, а эквипотенциалям электрического поля - силовые линии магнитного.

Второй тип - одинаковая форма граничных эквипотенциальных поверхностей в электрическом и магнитном полях постоянного тока. В этом случае картина поля оказывается совершенно одинаковой.