Площадь криволенейной трапеции.

Подсказка по алгебре

 

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(ab)=a2ab+b

(ab)=a3ab+3abb

a-b=(a+b)(a-b)

ab=(ab)(a∓ab+b),

(a+b)=a+b+3ab(a+b)

(a-b)=a-b-3ab(a-b)

xⁿ-aⁿ=(x-a)(x^n-1+ax^n-2+ax^n-3+...+a^n-1)

ax+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)  

где x₁ и x₂  корни уравнения

ax+bx+c=0

 

Степени и корни :

a^pa^g = a^p+g

a^p:a^g=a ^p-g

(a^p)^g=a ^pg

a^p /b^p = (a/b)^p

a^p×b^p = ab^p

a⁰=1; a¹=a

a^-p = 1/a

^pÖa =b => b^p=a

^pÖa^pÖb = ^pÖab 

Öa ; a  0

 

Квадратное уравнение

ax+bx+c=0; (a¹0)

x_1,2= (-b±ÖD)/2a; D=b -4ac

D>0® x₁¹x₂ ;D=0® x₁=x₂

D<0, корней нет.             

Теорема Виета:

 x₁+x₂ = -b/a 

 x₁× x₂ = c/a 

 Приведенное кв. Уравнение:

x + px+q =0

 x₁+x₂ = -p

 x₁×x₂ = q

 Если p=2k (p-четн.)

и x+2kx+q=0, то x_1,2 = -k±Ö(k-q)

 

Нахождение длинны отр-ка по его координатам

Ö((x₂-x₁)-(y₂-y₁))

 

Логарифмы:

log_a x = b => a^b = x; a>0,a¹0

a ^{loga x} = x, log_aa =1; log_a 1 = 0

log_a x = b; x = a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_axy = log_ax + log_a y  

log_a x/y = log_a x - log_a y

log_a x^k =k log_a x (x >0)

log_a^k x =1/k log_a x                          

log_a x = (log_c x)/( log_ca); c>0,c¹1

log_bx = (log_ax)/(log_ab)

 

Прогрессии

Арифметическая

a_n = a₁ +d(n-1)

S_n = ((2a₁+d(n-1))/2)n               

Геометрическая

 b_n = b_n-1 × q

b²_n = b_n-1× b_n+1

b_n = b₁×q^n-1

S_n = b₁ (1- qⁿ)/(1-q)

S= b₁/(1-q)

          

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) = cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sin (a + 2pk) = sin a

tg (a + pk) = tg a

ctg (a + pk) = ctg a

sin a + cos a =1

ctg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ

tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ

1+tga = 1/cosa , a¹p(2n+1)/2

1+ ctga =1/sina , a¹ pn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹ p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)           

x, y, x - y ¹ p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos a - sin a = 2 cos a - 1 =

= 1-2 sina

tg 2a = (2 tga)/ (1-tga)

1+ cos a = 2 cos a/2

1-cosa = 2 sin a/2

tga = (2 tg (a/2))/(1-tg(a/2))

 

Ф-лы половинного аргумента.

sin a/2 = (1 - cos a)/2

cosa/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a            

 a¹ p + 2pn, n ÎZ

 

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)         

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

                 sin (x+y)

tg x + tg y = —————      

                 cos x cos y 

               sin (x - y)            

tg x - tgy = —————                

               cos x cos y    

   

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = (cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = (cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = (sin (x-y)+ sin (x+y))

 

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg²x/2)            

cos x = (1-tg² 2/x)/ (1+ tg x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg²x)

sina = 1/(1+ctga) = tga/(1+tga)

cosa = 1/(1+tga) = ctga / (1+ctga)

ctg2a = (ctga-1)/ 2ctga

sin3a = 3sina -4sina = 3cosasina-sina

cos3a = 4cosa-3 cosa= 

= cosa-3cosasina

tg3a = (3tga-tga)/(1-3tga)

ctg3a = (ctga-3ctga)/(3ctga-1)

sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2)

cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)

tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))=

sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))=

sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina

 

sin(arcsin a) = a

cos( arccos a) = a

tg ( arctg a) = a

ctg ( arcctg a) = a

arcsin (sina) = a ; aΠ[-p/2 ; p/2]

arccos(cos a) = a ; a Î [0 ; p]

arctg (tg a) = a ; a Î[-p/2 ; p/2]

arcctg (ctg a) = a ; a Î [ 0 ; p]

arcsin(sin a )=

1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]

2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]

arccos (cos a ) =

1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]

2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk]

arctg(tg a )= a - p k

aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)

arcctg(ctg a ) = a  - p k

aÎ(pk; (k+1)p)

arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =

= arctg a/Ö(1-a)

arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=

 = arc ctga/Ö(1-a)

arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =

= arcsin a/Ö(1+a)

arc ctg a = p-arc cctg(-a) =

= arc cos a/Ö(1-a)

arctg a = arc ctg1/a =

= arcsin a/Ö(1+a)= arccos1/Ö(1+a)

arcsin a + arccos = p/2

arcctg a + arctga = p/2

 

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m|  1

x = (-1)ⁿ arcsin m + p k, kÎ Z

sin x =1          sin x = 0

x = p/2 + 2pk  x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m; |m|  1

x = ± arccos m + 2 p k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2pk  x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t²); t - tg

cos x/2 = (1-t)/(1+t)

 

Показательные уравнения.

Неравенства: Если a^f(x)>(<) a^а(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

 log_af(x) >(<) log _a j(x)

1. a>1, то : f(x) >0

              j(x)>0

               f(x)>j(x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

                j(x)>0

                f(x)<j(x)

3. log _f(x) j(x) = a   

ОДЗ: j(x) > 0

 f(x) >0

f(x ) ¹ 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - Ö3 cos x = 0

2sin x cos x -Ö3 cos x = 0

cos x(2 sin x - Ö3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.

sin x - sin 2x + 3 cos x =2

sin x - 2 sin x cos x + 3 cos  x = 2 sin x + cos x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

 

Тригонометрические нер-ва :

sin a ³ m

2 p k+ a ₁  a  a ₂ + 2 p k

2 p k+ a ₂  a  ( a ₁ +2 p )+ 2 p k

Пример:

I cos (p/8+x) < Ö3/2

pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk

2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;;

II sin a  1/2

2pk +5p/6 a 13p/6 + 2pk

cos a ³ (  ) m

2 p k + a ₁ < a < a ₂ +2 p k

2 p k+ a ₂ < a < ( a ₁ +2 p ) + 2 p k

cos a ³ - Ö2/2

2pk+5p/4 a 11p/4 +2pk

tg a ³ (  ) m

p k+ arctg m  a  arctg m + p k

ctg ³ (  ) m

p k+arcctg m < a < p + p k

 

Производная:

(xⁿ)^’ = n× x^n-1

(a^x)’ = a^x× ln a

(lg a^x )’= 1/(x×ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos x

(ctg x)’ = - 1/sinx

(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x)

(arccos x)’ = - 1/ Ö(1-x)

(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x)

(arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+x)

Св-ва:

(u × v)’ = u’×v + u×v’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v

Уравнение касательной к граф.

y = f(x₀)+ f ’(x₀)(x-x₀)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X₀, f(x₀), f ‘ (x₀), выразим х

 

Интегралы :

ò xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c

ò a^x dx = ax/ln a + c

ò e^x dx = e^x + c

ò cos x dx = sin x + cos

ò sin x dx = - cos x + c

ò 1/x dx = ln|x| + c

ò 1/cos x = tg x + c

ò 1/sin x = - ctg x + c

ò 1/Ö(1-x) dx = arcsin x +c

ò 1/Ö(1-x) dx = - arccos x +c

ò 1/1+ x dx = arctg x + c 

ò 1/1+ x dx = - arcctg x + c 

 

Площадь криволенейной трапеции.

 

 Геометрия

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a = b+c - 2bc cos a

b = a+c - 2ac cos b

c = a + b - 2ab cos g

 Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=(a+b+c)

    _____________

S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)

S = ab sin a

S_равн.=(aÖ3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

 

S = (a+b)/2× h

Круг

S= pR

S_{сектора}=(pRa)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=S_осн×Р

Прямоугольный

 V=abc

Пирамида

V =1/3S_осн.×H

S_полн.= S_бок.+ S_осн.

Усеченная :

 H .          _____

V = 3 (S₁+S₂+ÖS₁S₂)

S₁ и S₂ — площади осн.

S_полн.=S_бок.+S₁+S₂

Конус

V=1/3 pRH

S_бок. =pRl

S_бок.= pR(R+1)

Усеченный

S_бок.= pl(R₁+R₂)

V=1/3pH(R₁²+R₁R₂+R₂²)

Призма

V=S_осн.×H

прямая: S_бок.=P_осн.×H

S_полн.=S_бок+2S_осн.

наклонная :

S_бок.=P_пс×a

V = S_пс×a, а -бок. ребро.

P_пс — периметр

 S_пс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=pRH ; S_бок.= 2pRH

S_полн.=2pR(H+R)

S_бок.= 2pRH

Сфера и шар .

V = 4/3 pR - шар

S = 4pR - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 pRH

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=pH(R-H/3)

S=2pRH

 

град

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

180°

a

-p/2

-p/3

-p/4

-p/6

0

p/6

p/4

p/3

p/2

2p/3

3p/4

3p/6

p

sina

-1

-Ö3/2

-Ö2/2

- 

0



Ö2/2

Ö3/2

1

- 

0

cosa

1

Ö3/2

Ö2/2



0

- 

-Ö2/2

- Ö3/2

-1

tga

Ï

-Ö3

-1

-1/Ö3

0

1/Ö3

1

Ö3

Î

-Ö3

-1

0

ctga

---

Ö3

1

1/Ö3

0

-1/Ö3

-1

--

 

n	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	9	16	25	36	49	64	81
3	8	27	64	125	216	343	512	729
4	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561
5	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049
6	64	729	4096	15625	46656
7	128	2181
8	256	6561

 

	-a	p-a	p+a	p/2-a	p/2+a	3p/2 - a	3p/2+a
sin	-sina	sina	-sina	cosa	cosa	-cosa	-cosa
cos	cosa	-cosa	-cosa	sina	-sina	-sina	sina
tg	-tga	-tga	tga	ctga	-ctga	ctga	-ctga
ctg	-ctga	-ctga	ctga	tga	-tga	tga	-tga