Принципы построения программ с автоматическим выбором шага

 

При написании программ численного интегрирования желательно, чтобы для любой функции распределение узлов являлось оптимальным или близким к нему. Однако в случае резко меняющихся функций возникают некоторые проблемы. Если первоначальная сетка, на которой исследуется подынте­гральная функция, частая, то сильно загружается память ЭВМ; если она редкая, то не удаётся хорошо аппроксимировать оптимальное распределение узлов на участках резкого изменения подынтегральной функции. Рассмотрим некоторые из процедур распределения узлов интегрирования, обеспечивающие лучшее приближение к оптимальному распределению узлов для функций с особенностями.

Пусть на элементарном отрезке интегрирования  вычисляется приближённое значе­ние интеграла  и мера погрешности . Требуется вычислить . Первая процедура, которую естественно назвать горизонтальной, определяется заданием параметров . Полагаем . Предположим, что каким-то образом уже вычислено приближён­ное значение интеграла . Программа располагает в каждый момент времени некоторым значе­нием , с которым надо начинать считать оставшуюся часть интеграла. Вычисляем величину , соответствующую отрезку . Если оказалось , то вычисляем приближённое значение  и полагаем . Мы получили приближённое значение величины . В случае  полагаем , в противном случае полагаем . Мы готовы к следующему шагу. Если оказалось , то принимаем  за новое значение вели­чины  и возвращаемся к исходной позиции: вычислено значение интеграла  и задан шаг . Начальные условия для применения процедуры:

Процедура должна также иметь блок окончания работы: если оказалось, что , то следует положить . Установилась практика брать .

Другая процедура, которую можно назвать вертикальной, определяется заданием числа  и заключается в следующем. Пусть на каком-то шаге возникает необходимость вычисления интеграла по отрезку разбиения : ; вычисляется величина , соответствующая этому отрезку. Если она оказалась меньше , то этот интеграл вычисляется по соответствующей формуле и программа переходит к следующему справа отрезку разбиения. В противном случае отрезки  и  объявляются отрезками разбиения, и программа обращается к вычислению интеграла по ле­вому из этих отрезков. В начале работы программа обращается к вычислению исходного интеграла . Некоторым недостатком этой процедуры является необходимость запоминания отрезков раз­биения, интегрирование по которым на данный момент не произведено.

 

Список использованной литературы.

 

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. т.1 – М.: Наука. 1975.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966.

3. Калиткин Н.Н Численные методы. – М.: Наука, 1978.

4. Мусіяка В.Г. Основи чисельних методів механіки. – Дніпропетровськ: Видавництво ДДУ, 1993.

 

Практическая часть

 

Решение задачи

 

0.5

1

Наложим на область G прямоугольную сетку с шагами  и , вследствие чего получим внутреннюю прямоугольную ячейку с площадью  и координатами центра и две граничные треугольные ячейки с площадями и координатами центров соответственно ,  и .

0.75

1

0.5

Не учитывая граничные ячейки, получаем: .

Дополнение от граничных ячеек: .

Окончательно получаем:

Блок-схема программы

 

За программой и блок-схемой по данной теме обращайтесь по адресу: [email protected]

4.4 Результаты решения

 

Расчёт проводился при точности eps=1E-6.

Интеграл равен: 0.221612

Количество ячеек равно 8525.