Выполняя интегрирование, получаем

ЗАДАЧИ ЦИОЛКОВСКОГО

Рассмотрим две задачи Циолковского: прямолинейное дви­жение точки переменной массы под действием только одной реактивной силы и вертикальное движение точки вблизи Земли в однородном поле силы тяжести. Эти задачи впервые рассматривались К. Э. Циолковским.

Первая задача Циолковского

Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно в таком называемом, по терминологии Циолков­ского, свободном пространстве под действием только одной реактивной силы. Считаем, что относительная скорость , отделения частиц постоянна и направлена в сторону, противо­положную скорости  движения точки переменной массы (рис. 1). Тогда, проецируя на ось Ох, направленную по скорости движения точки, дифференциальное уравнение прямо­линейного движения точки переменной массы принимает вид

.

Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей, имеем

Рис. 1

,

где — начальная скорость, направленная по реактивной силе; —начальная масса точки.

Выполняя интегрирование, получаем

.                                                                                                (14)

Если в формулу (14) подставить значения величин, характеризующих конец горения, когда масса точки (ракеты) состоит только из массы несгоревшей части (массы приборов и корпуса ракеты) , то, обозначая через т массу топлива, для скорости движения v₁ в конце горения имеем

.

Вводя ч и с л о Ц и о л к о в с к о г о Z==m / M_p, получаем сле­дующую формулу Циолковского:

.                                                                                           (15)

Из формулы Циолковского следует, что скорость в конце горения не зависит от закона горения, т. е. закона изменения массы. Скорость в конце горения можно увеличить двумя путями. Одним из этих путей является увеличение относитель­ной скорости отделения частиц  или для ракеты увеличения скорости истечения газа из сопла реактивного двигателя.

Современные химические топлива позволяют получать ско­рости истечения газа из сопла реактивного двигателя порядка 2...2,3 км/с. Создание ионного и фотонного двигателей позво­лит значительно увеличить эту скорость. Другой путь увеличе­ния скорости ракеты в конце горения связан с увеличением так называемой массовой, или весовой, отдачи ракеты, т. е. с увеличением числа Z, что достигается рациональной конструк­цией ракеты. Можно значительно увеличить массовую отдачу ракеты М₀/М_р путем применения м н о г о с т у п е н ч а т о й раке­ты, у которой после израсходования топлива первой ступени отбрасываются баки и двигатели от оставшейся части ракеты. Так происходит со всеми баками и двигателями уже отработав­ших ступеней ракеты. Это значительно повышает число Циолковского для каждой последующей ступени, так как уменьшается М_р за счет отброшенных масс баков и двигателей.