df(x) в f(x) есть равномерно распределенная случайная величина,

по модулю не превосходящая значения g(x)=1e-4* ò f(t)dt в пределах от 1 до x.

В строке

2;g=1e-4*hx*abs(cumsum(f)); rand('state',0); n=30; V=(1:m)'*ones(1,n); plot([f/max(abs(f)),g/max(g)]), grid

задается профиль g=g(x) максимально допустимой ошибки в точке x, приводится в исходное состояние счетчик случайных чисел rand, задается число n=30 возмущений правой части f и матрица V размеров m*n из продублированного n раз столбца (1:m)'. График показывает, что самые большие ошибки там, где abs(f) мало. В строке

3;F=f(V)+g(V).*(2*rand(m,n)-1); U=A\F;plot(U), pause, plot([g(V).*(2*rand(m,n)-1),g])

создается матрица F возмущенных правых частей из m строк и n столбцов путем прибавления к размноженному n раз вектору f возмущений в нужных границах, решаются все системы AU=F и выводятся на график все решения U и все возмущения вместе с их границей. Из последнего графика видно, что возмущения заданы правильно. В строке

4; ua = max ( U ,[],2); ui = min ( U ,[],2); plot ([ ui , ut , ua ])

путем обработки U вдоль строк находятся поточечные границы решений (ua – верхняя, ui – нижняя) и строится график точного решения и этих границ.

Результат кажется нам плохим потому, что на графике

Plot(F)

возмущений просто не видно (масштаб f забил их), а в U они отразились слишком сильно. Но формально он не противоречит оценке, связанной с числом обусловленности c(A). Действительно, без учета профиля df максимальная ошибка me вычисляется как

6; sp = eig ( A ); me = min ( abs ( sp ))^(-1)* max ( g )

и равна 0.6064, тогда как

7; max ([ ua - ut ; ut - ui ]) (=0.5180)

и лишь немного подрастет с увеличением n (при n=100 это 0.5540), т.е. не превзойдет значения me, что и свидетельствует о формальной согласованности обоих методов оценки погрешности. Чтобы окончательно избавиться от ощущения какой-то несогласованности наших методов, применим критерий cond(A) для среднеквадратичной нормы. Для этогог нам нужно пройтись по всем столбцам k=1:n (сейчас n=30) матриц U и F и вычислить

Max( (norm(du)/norm(u)) / (norm(df)/norm(f)) ) .

Запишем это в виде (максимально используйте карман при наборе строк)

8;max((sum((U-ut(V)).^2).^.5./sum(U.^2).^.5)./(sum((F-f(V)).^2).^.5./sum(F.^2).^.5))

и получим 3.6484e+3, что меньше c(A)=6.6040e+3, так что и здесь мы не обнаружили противоречия.

Если подойти к оценке погрешности упрощенно, построив график

9;gm=max(g); plot(A\[f-gm,f,f+gm])

то все три линии на нем практически совпадут. Таким способом можно моделировать ошибку, если преобразование A^-1 монотонно, т.е. если при f₁<f₂ обязательно u₁<u₂ или, наоборот, обязательно u₁>u₂. Но у нас это не так: на графике (эта строка получается из строки 9)

10;gm=100*max(g);plot(A\[f-gm,f,f+gm])

желтая линия (она соответствует решению для правой части f-gm<f) то выше, то ниже фиолетовой. Именно из-за немонотонности преобразования A^-1 получается такой заметный разброс в U. С помощью этого приема можно быстро выяснить монотонность преобразования y=Q(x) (не обязательно линейного), что далеко не всегда удается определить теоретически: если все отклики Y=Q(X), x-a<X<x+a, a>0, лежат между Q(x-a) и Q(x+a), то преобразование Q монотонно, и нужно лишь взять значение a таким, чтобы результат был виден на графике (для этого нам пришлось увеличить max(g) в 100 раз).

6.Посмотрим, как изменятся результаты нашего примера при увеличении m - порядка матрицы A. Выполним, не меняя смысла задачи, отредактированную строку 1 предыдущего примера

1;clear all, hx=.01; x=1:hx:5; A=toeplitz(exp(x)); ut=sin(x)'; f=A*ut;u=A\f; plot([ut,u]), c=cond(A)

Здесь шаг hx уменьшен в 10 раз, так что теперь порядок m=401 – довольно высокий; c(A)= 6.0804e5 возросло почти в 100 раз, т.е. обусловленность A заметно ухудшилась (примерно в 10² раз), но

2;max(abs(u-ut)) (=1.3153e-9)

еще достаточно мал, хотя и возрос примерно в 10³ раз, т.е. больше, чем c(A). Такое расхождение с теорией как бы предупреждает о том, что даже при сохранении смысла задачи увеличение ее размерности не позволяет автоматически применять критерий числа обусловленности к оценке ошибок округления. К выбору числа m нужно всегда относиться с повышенным вниманием.

Чтобы получить представление о собственных векторах преобразования A, выполним строку

3;[V,D]=eig(A); D=V'*V; m=length(x); D(1:m+1:m^2)=0; mcv=max(abs(D(:)))

и получим mcv=2.2985e-15, т.е. степень ортогональности остается удивительно высокой. Жордановы клетки порядка выше первого могут быть тогда, когда mcv(A)>0.99.

Мы рассмотрели этот пример так подробно, чтобы показать исключительно высокие возможности MATLAB'а в том, что касается анализа результатов.

Литература

1. Using MATLAB. Version 5.2. The Mathworks, Inc., 1997. 531 p. MATLAB 5.2 Product Family New Features. Version 5.2. The Mathworks, Inc., 1998. 202 p.

2. Using MATLAB Graphics. Version5.2. The Mathworks, Inc., 1997. 372 p.

3. MATLAB Functions Reference (Volumes 1 and 2). Version 5. The Mathworks, Inc., 1998. 819 p., 586 p.

4. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MatLab. М., Физматлит, 1993 112 с.

5. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие. М., "Диалог-МИФИ", 1997. 350 с.

6. Гультяев А. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows. СПб, "Коронс-принт", 1999, 288 с.

7. Дьяконов В.П., Абраменкова К.В. MATLAB 5. Система символьной математики. М., Нолидж, 1999, 633 с.

8. Лазарев Ю.Ф. MATLAB 5.х. Киев, Изд. группа BHV, 2000, 384 с. ("Б-ка студента").

9. Медведев В.С., Потёмкин В.Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. М., "Диалог-МИФИ", 1997, 287 с.

10. Потёмкин, В.Г. Введение в MATLAB. М., "Диалог-МИФИ", 2000, 350 с.

11. Потёмкин, В.Г. Система инженерных расчетов MATLAB 5.х. В 2-х томах. М., "Диалог-МИФИ", 1999, 366 с., 304 с.

12. Рудаков П.И., Сафонов В.И. Обработка сигналов и изображений. MATLAB 5x. М., Диалог-МИФИ", 2000, 413 с. ("Пакеты прикладных программ").