Свойства последовательности

Содержание

Введение, основные понятия

1. Свойства последовательности

2. Упорядочивание, вычисление элементов последовательности

3. Некоторые зависимости между мнимыми тройками

4. Практическое применение, дополнения

4.1 Решение задачи «Математики играют»

4.2 Фигуры в декартовых системах координат

Заключительная часть

Направления для исследований

Литература

Введение, основные понятия

Широко известна классическая последовательность чисел Фибоначчи, в которой первые два элемента равны единице (F₁=F₂=1), а каждый последующий равен сумме двух предыдущих. (F_i+2=F_i+1+F_i.) В данной работе представлена последовательность, схожая по построению с последовательностью Фибоначчи, но состоящая не из чисел, а из троек чисел (Далее будем называть её трёхмерной последовательностью Фибоначчи). Цель данной работы – найти формулы зависимости между её членами, рекуррентные соотношения, общие формулы. Также в работе рассмотрены возможные применения данной последовательности: при решении задачи из турнира юных математиков (г. Минск, 2007 г.), и кроме этого, были рассмотрены фигуры в декартовых системах координат, чьи вершины имеют координаты, равные соответствующим компонентам троек.

Дадим определение основным понятиям.

· Аддитивная тройка – тройка целых чисел (a, b, c), где одно из чисел равно сумме двух других. Натуральной аддитивной тройкой назовём ту, в которой все числа натуральны, мнимой аддитивной тройкой назовём ту, в которой хотя бы одно число неположительное.

· Производная аддитивной тройки первым и вторым способом. Занумеруем переменные циклически. Пусть в некоторый момент i-1, i, i+1 – номера компонент тройки, полученные циклической перестановкой номеров 1, 2, 3, причём такой, что число с номером i равно сумме двух других. Тогда её производная «первым способом» - это тройка чисел, где числа с номерами i, i-1 остаются неизменными, а число с номером i+1 заменяется на сумму двух других. Аналогично, производная вторым способом – это та тройка, где числа с номерами i, i+1 остаются неизменными, а число с номером i-1 заменяется на сумму двух других.

· Производную первым способом от аддитивной тройки T обозначим f(T), а производную вторым способом – g(T).

Например, производные от тройки (1, 2, 3) первым и вторым способом соответственно – это тройки (5, 2, 3) и (1, 4, 3). При этом тройки вида (p+q,p,q) назовём аддитивными тройками 1 рода, тройки вида (p,p+q,q) – аддитивными тройками 2 рода, тройки вида (p,q,p+q) – соответственно аддитивными тройками 3 рода.

· Простейшие тройки – это аддитивные тройки (2,1,1), (1,2,1) и (1,1,2)

· Множество на k-том ходу – это некоторое множество, состоящее из нескольких аддитивных троек. Правила построения этих множеств будут описаны ниже. Каждая аддитивная тройка является либо простейшей тройкой, либо производной от некоторой другой аддитивной тройки.

Свойства последовательности

Построим последовательность, и назовём её трёхмерной последовательностью Фибоначчи. Эта последовательность будет состоять из множеств М₁, М₂, … и так далее. Множество М₁ состоит всего из одной аддитивной тройки (2,1,1). Далее строим последовательность следующим образом: Если аддитивная тройка Т содержится в М_i, то её производная первым способом содержится в М_i+1, а производная вторым способом содержится в М_i+2. Кроме этого, множество М₂ дополняется простейшей тройкой (1,2,1), а множество М₃ – соответственно простейшей тройкой (1,1,2).

Понятно, что при этом аддитивные тройки 1 рода лежат в множествах М₁, М₄, М₇, …, М_3k+1, …, аддитивные тройки 2 рода соответственно лежат в множествах М₂, М₅, М₈, …, М_3k+2, …, и, наконец тройки 3 рода – соответственно в множествах М₃, М₆, М₉, …, М_3k, …

Ниже представлено схематическое изображение этой последовательности, в виде таблицы:

Мн-во	Тройки												|Mi|
M1	(2,1,1)												1
M2	(2, 3, 1)						(1, 2, 1)						2
M3	(2, 3, 5)			(2, 1, 3)			(1, 2, 3)			(1, 1, 2)			4
M4	(8,3,5)	(4,3,1)			(4,1,3)		(3,2,1)		(5,2,3)			(3,1,2)	6
M5	(8,13,5)		(4,5,1)			(4,7,3)		(5,8,3)			(3,5,2)		10
	(2,7,5)		(2,5,3)			(3,4,1)		(1,4,3)			(1,3,2)
…	…												16

Заметим, что начиная с n=3, количество элементов во множестве M_i равняется i-тому числу из последовательности Фибоначчи, умноженному на 2. (|M_i|=2F_i).

Действительно, каждое множество состоит из производных троек предыдущего множества, и предыдущего за ним. Поэтому его мощность равняется сумме мощностей двух предыдущих множеств. Для n³3 |M_i|=|M_i-1|+|M_i-2| (Под последовательностью Фибоначчи здесь понимается последовательность F_n, где F₁=F₂=1, F_i+2=F_i+1+F_i, i>1)

Номер той компоненты тройки, которая равняется сумме двух других, соответствует остатку при делении числа q на 3, где q – номер множества, в котором содержится данная тройка.