Преобразования симметрии

1. Симметрия тела определяется совокупностью тех перемещений, которые совмещают тело с самим собой; об этих перемещениях говорят как о преобразованиях симметрии. Каждое из возможных преобразований симметрии можно представит в виде комбинации одного или нескольких из трех основных типов преобразовании. Этими тремя существенно различными видами преобразовании являются:

1 - поворот тела на определенный угол вокруг некоторой оси;

2 - зеркальное отражение в некоторой плоскости;

3 - параллельный перенос тела на некоторое расстояние.

Последним типом преобразований может обладать лишь бесконечная среда (кристаллическая решетка). Тело же конечных размеров (молекула) может быть симметрична только по отношению к поворотам и отражениям.

2. Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол j =2 p / n, то такая ось называется осью симметрии n-го порядка и обозначается C_n. Число n может иметь различные целые значения n=2,3.4 ... Значение n=1 соответствует повороту на угол 2 p /1, или 0, т.е. соответствует тождественному преобразованию. Повторяя операцию C_n два, три и т.д. раз получаем поворот на угол 2 × 2 p /n, 3 × 2 p /n,... и т.д. Эти повороты также совмещают тело само с собой и обозначаются C_n², C_n³ и т.д. Очевидно, что если n кратно p, то C_n^p=C_n/p. Произведя преобразования n раз, мы вернемся в первоначальное положение, т.е. произведем тождественное преобразование, которое принято обозначать символом Е.

3. Если тело совмещается само с собой при зеркальном отражении в некоторой плоскости s , то такая плоскость называется плоскостью симметрии. Операцию отражения обычно обозначают также символом s. Очевидно, что двукратное отражение в одной плоскости есть тождественное преобразование ss ^-1 =Е.

4. Одновременное применение обоих преобразований поворота и отражения приводим к так называемой зеркально-поворотной оси S_n. Тело обладает зеркально-поворотной осью n-го порядка, если оно совмещается с самим собой при повороте вокруг этой оси на угол 2 p /n и последующем отражении в плоскости s _h, перпендикулярной к этой оси. Это новый вид симметрии, если n четное. Если n-нечетное, то применение этой операции n раз даст поворот на угол 2 p /n, а нечетное отражение в плоскости даст простое отражение. Только при четном n применение n раз этой операции даст тождественное преобразование, т.е. s S_2p^2p=E. Зеркально-поворотное преобразование обозначается S_n. Поскольку при отражении в плоскости s, перпендикулярной оси C_n принято ставить индекс h при s плоскость обозначается s _h. Важным случаем является зеркально-поворотная ось второго порядка S₂. Легко сообразить, что поворот на угол j с последующим отражением в плоскости s _h, представляет собой преобразование инверсии I, при котором происходит отражение тела в точке пересечения оси C₂ и плоскости s _h. I=S₂=C₂ × s _h; I × s _h =C₂; I × C₂= s _h, т.е. C₂, s _h и I взаимно зависимы: наличие любых двух элементов приводит к существованию третьего.

5. Произведение двух поворотов вокруг осей, пересекающих в точке А есть также некоторое вращение вокруг оси, проходящей через точку А. Ось вращения и угол результирующего движения определяются осями и углами исходных поворотов. Произведение двух отражений s ₁ и s ₂ в пересекающихся под углом j плоскостях, эквивалентно повороту вокруг оси, совпадающей с линией пересечения этих плоскостей на угол 2 j, т.е. s ₂ s ₁=C (2j). Действительно, умножая последнее равенство на s ₂, получим s ₁ = s ₂ × C (2 j ), т.е. произведение поворота на угол 2 j и отражения в плоскости, проходящей через эту ось, эквивалентно отражению в другой плоскости, пересекающейся с первой под углом j.

Другой важный результат состоит в том, что произведения двух вращений на угол p вокруг пересекающихся под углом j осей U и V эквивалентно вращению вокруг оси ММ, перпендикулярной плоскости, в которой находятся оси U и V, на угол 2 j =2 (V,U). Действительно, при двух кратном вращении вокруг U и V линия ММ остается в прежнем положении, т.е. это вращение вокруг оси ММ. Для определения угла вращения рассмотрим саму ось U. Вращение вокруг U оставляет ее без изменений, а вращение вокруг V переводит ее в новое положение U`, так что угол между старым U и новым U `положением равен (U U `) =2 j .

Результат двух последовательных преобразований, вообще говоря, зависит от порядка, в котором эти операции производятся, так что операции не коммутируют. При записи сначала записывается операция, которая производится второй. Однако, следующие операции являются коммутирующими:

1. Два вращения вокруг одной и той же оси C _n ^k C _n ^l =C _n ^l C _n ^k.

2. Два отражения во взаимно перпендикулярных плоскостях - они эквивалентны вращению на угол p: s _x × s _y =C₂^z= s _y × s _x,3. Вращение и отражение в плоскости перпендикулярной этой оси C_n s _h =S_n= s _h C_n (т.е. вращательное отражение). Эту операцию можно рассматривать как фундаментальную.4. Вращение на угол p вокруг двух перпендикулярных осей: C₂^x × C₂^y=C₂^z.

5. Любой поворот C _n , отражение s _h и инверсия I (следствие 1 и 3).

Ясно, что для каждой операции симметрии R, которую можно применить к нему, имеется операция, отличающаяся от первой или идентичная ей, которая переводит тело в первоначальное положение. Это обратная операция R^-1R=Е

Операции симметрии

Рассматривая симметрию любой фигуры, мы должны среди всех возможных вращении и отражении выбрать те, которые приводят фигуру к совмещению с собой. Эти движения называются операциями симметрии. Операции симметрии надо отличать от элементов симметрии. Оси вращения типа С_n называются n кратными. Зеркально-поворотные оси называются также осями второго рода. В силу предыдущих соотношения имеют место следующие утверждения:

1. Пересечение двух плоскостей симметрии есть ось симметрии. Если угол между плоскостями p /n, то ось является n-кратной, т.е. поворот вокруг этой оси на угол 2 p /n совместить тело с самим собой.

2. Если плоскость симметрии содержит n-кратню ось, то существует еще n-1 плоскостей симметрии, проходящих через ту же ось, причем угол между плоскостями p /n. Частный случай: ось С₂ и две проходящие через нее ортогональные плоскости всегда существуют вместе.3. Ось четвертого порядка, плоскость перпендикулярная к ней и инверсия всегда существуют вместе, т.к C₄² s _h =S₂ º I.

4. Две двукратные оси, образующие угол p /n вызывают появление перпендикулярной к их плоскости n-кратной оси.5. Двукратная ось и перпендикулярная к ней n-кратная ось генерирует еще n-1 двукратных осей. Угол между ними p /n.