Понятие о средней величине
Тема 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Средняя величина является обобщающей количественной характеристикой изучаемого признака в исследуемой совокупности. В статистике используются различного рода средние величины.
Средняя арифметическая – частное от деления суммы вариант на их число. Она бывает следующих видов: простая или взвешенная. Средняя арифметическая простая, рассматривается в случае, когда известны все значения признаков х1, х2, ¼, хп и рассчитывается по формуле где n – число вариант; х – значение признака.
Средняя арифметическая взвешенная, исчисляется, если известны отдельные значения признаков и их частоты, по следующей формуле: где х – значение признака; f – частота, которая может быть абсолютной (в разах) и относительной (доля, удельный вес частот во всей совокупности) величиной.
Средняя арифметическаяимеет следующие свойства: · произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведений вариант на соответствующие им частоты; · если все варианты уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное число, то средняя арифметическая из этих вариант уменьшится или увеличится на то же самое число; · если все варианты увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз; · если все частоты одинаково увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая не изменится; · сумма отклонений вариант от их средней арифметической величины равна нулю.
Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Данный показатель применяется тогда, когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объемам признака. Средняя гармоническая также может быть простой и взвешенной. Средняя гармоническая простая исчисляется по формуле Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по следующей формуле: где W = xf – вес средней гармонической.
Средняя квадратическая (и т. д. для любой степени) рассчитывается по следующим формулам: · простая: · взвешенная: Средняя геометрическая определяется по следующим формулам: · простая: , где Π – знак перемножения. · взвешенная: . Пример 1. Имеются следующие данные о размере торговой площади магазинов, входящих в районное потребительское общество (табл. 9). Таблица 9
Необходимо определить среднюю площадь магазина.
Решение Так как известна площадь каждого магазина, то для вычисления средней площади магазина следует применить среднюю арифметическую простую: м2. Средняя площадь магазина составляет 80 м2.
Пример 2. Приведенные данные в предыдущем примере могут быть представлены в сгруппированном виде (табл. 10).
Необходимо определить среднюю площадь магазина.
Решение Если известны отдельные значения признака и соответствующие ему частоты, то применяется средняя арифметическая взвешенная: м2. Средняя площадь магазина составляет 80 м2. Пример 3. Имеются следующие данные о распределении магазинов по торговой площади (табл. 11). Таблица 11
Следует определить среднюю площадь магазина.
Решение Известны отдельные значения признака и их частоты, следовательно, следует применять среднюю арифметическую взвешенную: . Так как варианты представлены в виде интервального ряда распределения, то, чтобы воспользоваться указанной формулой, необходимо выразить их одним числом, т. е. следует перейти к дискретному ряду распределения (в этом случае находят середину каждого интервала). Для первого интервала м2 и т. д. по остальным интервалам. Расчеты следует производить в табл. 12. Таблица 12
Таким образом, м2. Средняя площадь магазина равна 72 м2. Пример 4. Имеются следующие данные о распределении магазинов по площади (табл. 13). Таблица 13
Необходимо определить среднюю площадь магазина.
Решение Так как весами является площадь W = xf, то следует применять среднюю гармоническую взвешенную: м2. Таким образом, средняя площадь магазина равна 80 м2.
5.2. Вычисление средней из вариационного ряда
«Способ моментов» применяется в рядах с равными интервалами на основе свойств средней арифметической. Средняя арифметическая исчисляется по формуле
, где i – размер интервала; m1 – момент первого порядка (средняя арифметическая из новых упрощенных вариант ; – новые упрощенные варианты; f – частота); А – постоянное число (лучше всего взять его равным варианте, у которой наибольшая частота).
Определим среднее значение признака «способом моментов» на следующем примере. Пример 5. Имеются следующие данные о распределении магазинов облпотребсоюза по торговой площади (табл. 14). Таблица 14
Следует определить среднюю площадь магазинов, применив «способ моментов».
Решение Данные распределения магазинов по торговой площади представлены в виде интервального ряда распределения с равными интервалами (i = 20 м2), следовательно, расчет средней площади магазина можно провести по формуле , применив «способ моментов». Первый и последний интервалы даны открытыми, т. е. не имеют границ нижней и верхней соответственно. Для определения среднего значения в них границы интервалов следует закрыть. Для первой группы с размером площади до 40 м2 условно считаем, что интервал также равен 20 м2, затем вычитаем 20 м2 из 40 м2 и находим условную нижнюю границу первого интервала (20 – 40). Условную верхнюю границу последнего интервала определяем аналогично (100 – 120). Расчеты следует проводить в табл. 15. Таблица 15
Наибольшая частота f равна 40, следовательно, в качестве постоянной величины А принимаем 70. Определяем момент первого порядка: . Среднее значение признака равно: + 70 = Следовательно, средняя площадь магазина составляет 68 м2.
Структурные средние
В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды и медианы. Мода (Мо) – наиболее часто повторяющееся значение признака. Медиана (Ме) – величина признака, которая делит упорядоченный ряд на две равные по численности части. Если расчет моды и медианы проводится в дискретном ряду, то он опирается на их понятия. В интервальном ряду распределения для расчета моды и медианы применяют следующие формулы. Мода рассчитывается по формуле , где хМо – нижнее значение модального интервала; iМо – размер модального интервала; fМо – частота модального интервала; fМо–1 – частота, предшествующая модальной частоте; fМо+1 – частота, последующая за модальной частотой. Модальному интервалу соответствует наибольшая (модальная) частота. Медиана рассчитывается по формуле , где хМе – нижнее значение медианного интервала; iМе – размер медианного интервала; Sf – сумма частот; SМе–1 – сумма частот, предшествующих медианной частоте; fМе – медианная частота. Медианному интервалу соответствует медианная частота. Таким интервалом будет интервал, сумма накопленных частот которого равна или превышает половину суммы всех частот. Рассмотрим определение моды и медианы на следующих примерах.
Пример 6. В результате статистического обследования области получены следующие данные по распределению семей по числу детей (табл. 16). Таблица 16
Следует определить моду и медиану.
Решение В дискретных рядах модой является варианта с наибольшей частотой. Наибольшая частота – 34, следовательно мода равна 2. Для вычисления медианы определим сумму частот ряда (Sf = 100), затем рассчитаем полусумму . Так как сумма накопленных частот 5 + 32 + 34 = 71 превышает полусумму (71 > 50), то варианта, имеющая значение 2 и соответствующая этой накопленной сумме частот, и есть медиана. Пример 7. В результате статистического обследования получены следующие данные распределения продавцов магазинов облпотребсоюза по возрасту (табл. 17). Таблица 17
Необходимо определить моду и медиану.
Решение В интервальных рядах мода и медиана определяются по вышеприведенным формулам. Сначала определим модальный интервал, он соответствует наибольшей частоте. Так как наибольшая частота равна 35 и является модальной, то интервал 30–40 является модальным интервалом. Затем подставим данные в следующую формулу: лет. Определим медианный интервал. Полусумма частот равна 50 . Накапливая частоты, определим интересующий интервал. Так как сумма накопленных частот 6 + 24 + 35 = 65 превышает полусумму (65 > 50), значит 35 является медианной частотой, а интервал 30–40 является медианным интервалом. Затем подставим данные в формулу . Таким образом, мода равна 35,5 лет (больше всего продавцов
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (229)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |