Математическое описание плоских геометрических проекций
Каждую из проекций можно описать матрицей 4´4. Этот способ оказывается удобным, поскольку появляется возможность объединить матрицу проецирования с матрицей преобразования. Центральная (перспективная)проекция получается путем перспективного преобразования и проецирования на некоторую двухмерную плоскость «наблюдения». Перспективная проекция на плоскость Z = 0 обеспечивается преобразованием
[X Y Z H] = [x y z 1]* = [x y 0 (rz+1)]. Рис. 6.15. Вычисление одноточечной перспективы или x* = = ; y* = = ; z* = = , где r = . Центр проекции находится в точке с координатами (0,0,-k) (рис. 6.15), плоскость проецирования Z = 0. Соотношения между x, y и x*, y* остаются теми же самыми. Рассматривая подобные треугольники, получим, что = , или x* = ; аналогично y* = . Координаты x*, y* являются преобразованными координатами. В перспективном проектировании преобразованное пространство не является евклидовым, так как ортогональность осей не сохраняется. При k = ¥ получим аксонометрическое преобразование. Аффинное преобразование есть комбинация линейных преобразований, сопровождаемых переносом. Последний столбец в обобщенной матрице 4´4 должен быть равен: , в этом случае H = 1. Перспективному преобразованию может предшествовать произвольная последовательность аффинных преобразований. Таким образом, чтобы получить перспективные изображения из произвольной точки наблюдения вначале используют аффинные преобразования, позволяющие сформировать систему координат с осью Z вдоль желаемой линии визирования. Затем применяется перспективное преобразование. Аналогично перспективное преобразование, когда картинная плоскость перпендикулярна оси Z и совпадает с плоскостью Z = 1/r. Центр проекции находится в центре координат: [X Y Z H] = [x y z 1] * = [x y z (rz+1)] — одноточечная перспектива (точка схода Z); — точка схода X. Двухточечная (угловая) перспектива.Для получения двухточечной перспективы в общей матрице преобразования устанавливают коэффициенты p и q: (x', y', z', 1) = (x, y, z, 1) =[x, y, 0, (px+qu+1)];
(x', y', z', 1) = . Такое преобразование приводит к двум точкам схода. Одна расположена на оси X в точке ( , 0, 0, 1), другая на оси Y в точке (0, , 0, 1). Рассмотрим это преобразование на получение проекции единичного куба (рис. 6.16).
Рис. 6.16. Единичный куб для получения двухточечной проекции . В результате получаем проекцию вида, представленного на рис. 6.17.
Рис. 6.17. Двухточечная проекция единичного куба =[x y z (px+qy+rz+1)] — трехточечная (косая) перспектива. Для того чтобы создать диметрическую проекцию, необходимо выполнить следующее условие:
sin2φ=sin2θ/(1- sin2θ). Одним способом выбора sinθ является сокращение оси Z в фиксированное число раз. При этом единичный вектор на оси Z, равный [0 0 1 1], преобразовывается к виду [X Y Z H] = [sinφ -cosφ×sinθ cosφ×cosθ 1] или x* = sinφ; y*= - cosφ sinθ. Таким образом, для диметрической проекции получаем φ = 20,705°: θ = 22,208°. Для образования изометрической проекции нужно в одинаковое число раз сократить все три оси. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие sin2φ=sin2θ/(1- sin2θ) и sin2φ=(1-2sin2θ)/(1- sin2θ). Таким образом, φ = 35,26439°; θ = 45°. Рассмотрим теперь косоугольную проекцию(рис. 6.18), матрица может быть записана исходя из значений a и l. Проекцией точки P(0,0,1) является точка P¢(l cosa, l sina, 0), принадлежащая плоскости xy. Направление проецирования совпадает с отрезком РР¢, проходящим через две эти точки. Это направление есть Р¢-Р = (l cosa, l sina, -1). Направление проецирования составляет угол b с плоскостью xy. Теперь рассмотрим проекцию точки x, y, z и определим ее косоугольную проекцию (xp yp) на плоскости xy: xp = x + z(l cosa); yp = y + z(l sina). Таким образом, матрица 4´4, которая выполняет эти действия и, следовательно, описывает косоугольную проекцию, имеет вид
Мкос= . Рис. 6.18. Вычисление косоугольных проекций Применение матрицы Мкос приводит к сдвигу и последующему проецированию объекта: плоскости с постоянной координатой z = z1 переносятся в направлении x на z1 l cosa и в направлении y на z1 l sina и затем проецируется на плоскость z = 0. Сдвиг сохраняет параллельность прямых, а также углы и расстояния в плоскостях, параллельных оси z. Для проекции Кавалье l = 1, поэтому угол b= 45°. Для проекции Кабине l=½, а b = arctg(2) = 63,4°. В случае ортографической проекции l = 0 и b = 90°, поэтому матрица ортографического проецирования является частным случаем косоугольной проекции.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (979)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |