Производная степенно-показательной функции

Используя правило дифференцирования неявной функции можно находить производные некоторых сложных функций.

Задание 29.Найти производную степенно-показательной функции , в которой основание степени и показатель степени являются некоторыми функциями аргумента х.

Решение. Прологарифмируем заданную функцию:

.

Производную y' будем искать, дифференцируя полученное выражение по правилу дифференцирования неявной функции:

,

.

Окончательно для производной степенно-показательной функции можно записать:

 

 

Из полученной формулы видно, что вначале степенно-показательную функцию мы рассматриваем как показательную со сложным показателем степени , где a = f(x) и первое слагаемое получаем при дифференцировании заданной функции по правилу нахождения производной показательной функции:

Второе слагаемое получаем при дифференцировании степенно-показательной функции как сложной степенной функции [f(x)]ⁿ, где n = φ(x).

В результате дифференцирования сложной степенной функции получаем второе слагаемое

, где n = φ(x).

 

Задание 30.Найти производную функции:

Решение. Данная функция является степенно-показательной функцией. Для заданной функции обозначим , , , .

Для производной заданной функции по формуле

 

получим:

 

Производная функции, заданной параметрически.

При параметрическом задании функции зависимость функции у от аргумента х задается двумя уравнениями y = f(t); x = φ(t).

Производная функции, заданной параметрически вычисляется в следующем порядке.

1. Находим производную функции у по параметру t:

.

2. Находим производную аргумента х по параметру t:

.

3. Находим производную функции у по параметру х:

.

Задание 31. Найти значение производной функции заданной уравнениями:

y = t cost; x = t (1 – sint),

при t = π.

Решение. Находим производную ,

.

Находим производную ,

.

Находим производную ,

.

Находим значение производной при t = π:

 

.

 

 

Задание 32.Найти производную функции, заданной в параметрическом виде:

 

Решение. Находим производную по формуле .

Находим производную :

Находим производную :

Задание 33.Найти производную второго порядка от функции:

Решение. Находим производную первого порядка:

Еще раз дифференцируем и получим производную второго порядка:

 

Найти самостоятельно производную функции:

 

 

	а)	б)
	a)	б)

Ответы

 

1а)

1б)

2а)

2б)

3а)

Можно упростить выражение до нахождения производной, сократив на х, тогда

3б)

4а) .

4б) .

5а) .

5б) , если решать по формуле производной произведения.

, если решать по формуле производной частного.

После преобразования получим:

.

6а) .

6б) .

7а) .

7б) .

8а) .

8б) .

9а) .

9б) .

10а) .

10б) .

11а) .

11б) .

12а) .

12б)

13а) .

13б) .

14а) .

14б)

15а) .

15б)

16а)

.

16б)

.

17а)

.

17б) .

18а)

.

18б)

.

 

19 а

19 б

20 а

20 б