Стратегии кластеризации

Используя матрицу расстояний, можно реализовать агломеративную иерархическую процедуру кластерного анализа. Расстояние между кластерами определяется по принципу «ближайшего соседа» или «дальнего соседа». В первом случае за расстояние между кластерами принимают расстояние между ближайшими элементами этих кластеров, а во втором – между наиболее удаленными друг от друга.

Аггломеративные стратегии позволяют строить дендрограмму классификации в ходе иерархического процесса объединения кластеров:

- стратегия ближайшего соседа очень сильно сжимает пространство исходных переменных и рекомендуется для получения минимального дерева взамен групповой классификации;

- стратегия дальнего соседа сильно растягивает пространство;

- стратегия группового соседа сохраняет метрику пространства;

- гибкая стратеги универсальна и зависит от значения коэффициента бета, ввод которого запрашивается при выборе этой стратегии (бета должно быть меньше 1): при бета=0 метрика не меняется, при бета>0 пространство сжимается, а при бета<0 - растягивается;

- метод Уорда минимизирует внутрикластерный разброс объектов и дендрограмма получается с глубоко, "гипертрофированно" разделенными кластерами.

- Дивизивная стратегия динамических сгущений позволяет сгруппировать объекты в заданное число кластеров.

Принцип работы иерархических агломеративных процедур состоит в последовательном объединении групп элементов сначала самых близких, а затем все более отдаленных друг от друга.

На первом шаге алгоритма каждое наблюдение z_i (i = 1,2,…, n) рассматривается как отдельный кластер. В дальнейшем на каждом шаге работы алгоритма происходит объединением двух самых близких кластеров, и вновь строится матрица расстояний, размерность которой снижается на единицу. Работа алгоритма заканчивается, когда все наблюдения объединены в один класс.

Пример

Провести классификацию пяти предприятий, каждое из которых характеризуется следующими экономическими показателями: x₁ - прибыль от реализации x₂ - удельный вес продукции высшей категории качества x₃ - выработка товарной продукции на одного работника ППП, x₄ – среднегодовая стоимость основных производственных фондов.

Таблица 5.5.1. Значение основных экономических показателей.

Решение: Для устранения различия в единицах измерения показателей нормируем их. В результате расчетов по программе получаем матрицу нормированных исходных данных

;

А также среди значений показателей x₁, x₂, x₃, x₄ и их средние квадратические отклонения:

x₁ = 4,0366 s₁ = 2.0088277

x₂ = 48,2444 s₂ = 25.187455

x₃ = 3,2294 s₃ = 1.0560776

x₄ = 11,3092 s₄ = 7.2609854

В качестве расстояния между объектами возьмем взвешенное евклидово расстояние, причем «веса» w_l зададим пропорционально степени важности экономического показателя: w₁ = 0.4; w₂ = 0.3; w₃ = 0.2; w₄ = 0.1. Получаем матрицу расстояний между всеми пятью предприятиями:

;

Из матрицы следует, что объекты 2 и 4 наиболее близки и поэтому объединяются в один кластер. После объединения имеем 4 кластера.

^{Номер кластера 1 2 3 4}

__________________

_{Состав кластера (1) (2,4) (3) (5)}

Расстояние между кластерами будем находить по принципу «ближайшего соседа». За расстояние между кластерами S₁ и S_(2,4) берем минимальное из расстояний и . Аналогично находим расстояния между S₃, S₅ и S_(2,4) , которые соответственно равны: и Расстояние между остальными кластерами остается без изменения. Таким образом, получаем матрицу расстояний

;

Из матрицы следует, что кластеры S₃ S₅ наиболее близки и поэтому объединяются в новй кластер S_(3,5). После объединения будем иметь три кластера S₁, S_(2,4) и S_(3,5) . Расстояние между новым кластером S_(3,5) и кластерами S₁, S_(2,4) соответственно равны: меньше и . Матрица расстояний имеет следующий вид:

;

Из этой матрицы следует, что кластеры S₁и S_(2,4) объединяются в новый кластер S_(1,2,4), так как расстояние между ними минимально . Тогда получим матрицу расстояний

.

Таким образом, на расстояние два кластера и объединяются в один.

Задание. Проведите кластерный анализ.