Принципы и методы построения имитационных моделей

Процесс функционирования сложной системы можно рассматривать как смену ее состояний, описываемых ее фазовыми переменными

Z₁(t), Z₂(t), … Z_n(t) в n – мерном пространстве.

Задачей имитационного моделирования является получение траектории движения рассматриваемой системы в n – мерном пространстве (Z₁, Z₂, … Z_n), а также вычисление некоторых показателей, зависящих от выходных сигналов системы и характеризующих ее свойства.

В данном случае “движение” системы понимается в общем смысле – как любое изменение, происходящее в ней.

Известны два принципа построения модели процесса функционирования систем:

2.3.1. Принцип Δt. Рассмотрим этот принцип сначала для детерминированных систем. Предположим, что начальное состояние системы соответствует значениям Z1(t₀), Z₂(t₀), … Z_n(t₀). Принцип t предполагает преобразование модели системы к такому виду, чтобы значения Z₁, Z₂, … Z_n в момент времени t1= t₀ t можно было вычислить через начальные значения, а в момент t₂= t₁+ t χчерез значения на предшествующем шаге и так для каждого i-ого шага ( t=const, i=1 M).

Для систем, где случайность является определяющим фактором, принцип t заключается в следующем:

1. Определяется условное распределение вероятности на первом шаге (t₁= t₀+ t) для случайного вектора,обозначим его (Z₁, Z₂, … Z_n). Условие состоит в том, что начальное состояние системы соответствует точке траектории .

2. Вычисляются значения координат точки траектории движения системы (t₁= t₀+ t), к ак значения координат случайного вектора, заданного распределением, найденным на предыдущем шаге.

3. Отыскиваются условное распределение вектора на втором шаге (t₂= t₁+ t), при условии получения соответствующих значений на первом шаге и т.д., пока t_i= t₀+ i t не примет значения (t_М= t₀+ М t).

Принцип t является универсальным, применим для широкого класса систем. Его недостатком является неэкономичность с точки зрения затрат машинного времени.

2.3.2. Принцип особых состояний (принцип ). При рассмотрении некоторых видов систем можно выделить два вида состояний:

· обычное, в котором система находится большую часть времени, при этом Z_i(t), (i=1 n) изменяются плавно.

· особое, характерное для системы в некоторые моменты времени, причем состояние системы изменяется в эти моменты скачком.

Принцип особых состояний отличается от принципа t тем, что шагпо времени в этом случае не постоянен, является величиной случайной и вычисляется в соответствии с информацией о предыдущем особом состоянии.

Примерами систем, имеющих особые состояния, являются системы массового обслуживания. Особые состояния появляются в моменты поступления заявок, в моменты освобождения каналов и т.д.

Для таких систем применение принципа t является нерациональным, так как при этом возможны пропуски особых состояний и необходимы методы их обнаружения.

В практике использования имитационного моделирования описанные выше принципы при необходимости комбинируют.

2.3.3. Пример применения принципа t.

На рис. 2.2. приведена аналоговая схема дифференцирующего фильтра.

Рис. 2.2.

Процесс, происходящий в фильтре, описывается дифференциальным уравнением:

В уравнении:

K- коэффициент усиления,

х(t) – входной сигнал.

Доказано, что

Преобразуем математическую модель фильтра (1) к виду, позволяющему применить принцип t. В простейшем случае достаточно уравнение (1) аппроксимировать конечно-разностным уравнением:

Задав начальное условие Z(t₀)=Z₀ можно построить траекторию процесса, происходящего в фильтре, с целью получения текущего значения производной любой детерминированной функции x(t), подаваемой на вход.

2.3.4. Пример применения принципа особых состояний

Рассмотрим магазин мелких подарков “Виртуальный”. В магазине работает один продавец. Требуется имитировать работу магазина с целью изучения перспектив его развития. Из предварительного обследования получена информация, что интервал времени между двумя последовательными приходами покупателей в магазине имеет равномерный закон распределения в интервале (1,10). Время обслуживания покупателей в магазине также распределено равномерно в интервале (1,6).

2.3.5. Основные методы имитационного моделирования

Основными методами имитационного моделирования являются: аналитический метод, метод статического моделирования и комбинированный метод (аналитико-статистический) метод.

Аналитический метод применяется для имитации процессов в основном для малых и простых систем, где отсутствует фактор случайности. Например, когда процесс их функционирования описан дифференциальными или интегродифференциальными уравнениями. Метод назван условно, так как он объединяет возможности имитации процесса, модель которого получена в виде аналитически замкнутого решения, или решения полученного методами вычислительной математики.

Метод статистического моделирования первоначально развивался как метод статистических испытаний (Монте-Карло). Это – численный метод, состоящий в получении оценок вероятностных характеристик, совпадающих с решением аналитических задач (например, с решением уравнений и вычислением определенного интеграла). В последствии этот метод стал применяться для имитации процессов, происходящих в системах, внутри которых есть источник случайности или которые подвержены случайным воздействиям. Он получил название метода статистического моделирования. В параграфах 2-5 данного раздела излагается суть этого метода.

Комбинированный метод (аналитико-статистический) позволяет объединить достоинства аналитического и статистического методов моделирования. Он применяется в случае разработки модели, состоящей из различных модулей, представляющих набор как статистических так и аналитических моделей, которые взаимодействуют как единое целое. Причем в набор модулей могут входить не только модули соответствующие динамическим моделям, но и модули соответствующие статическим математическим моделям.

Вопросы для самопроверки

1. Можно ли все то, что решается с помощью ЭВМ назвать имитационным моделированием? Если – нет, то можно ли указать четкую границу между имитационным моделированием и моделированием с помощью ЭВМ?

2. Объясните, почему метод имитационного моделирования становиться одним из основных инструментов исследования технологических, социально-экономических, биологических и других видов процессов?

3. Объясните разницу между принципами t и _. Приведите примеры.

4. В чем вы видите трудности разработки имитационных моделей больших систем? Перечислите их и прокомментируйте.

5. Имеется квадратная труба с квадратным отверстием внутри нее. По трубе течет горячая жидкость. Труба помещена в ледяную ванну. Распределение температуры в теле трубы в ее сечении удовлетворяет уравнению в частных производных

U_xx+U_yy=0, (3)

а распределение температур на границе трубы задано начальными условиями. Разностные уравнения, соответствующие (3) имеют вид:

Задачу можно решить, задавая начальные условия и задавая i и j в соответствии с необходимым количеством разбиений интервалов в направлениях по координатным осям x и y, при реализации модели (4) с помощью ЭВМ, можно ли считать данную модель имитационной? Дайте ответ на этот вопрос, если вместо (3) имеется уравнение U_xx+U_yy=aU_t, учитывающее переходной процесс. А если учитывать понижение температуры вдоль трубы и задачу рассматривать как трехмерную?

6. К какому классу относятся системы, для которых применим метод имитационного моделирования?

7. Можно ли отнести модели всех видов процессов, исследуемых с помощью ЭВМ к имитационным?

Упражнения

1. Задано уравнение

а) Преобразовать уравнение к виду, позволяющему применить принцип t;

б) Найдите решение уравнения, то есть математическую модель процесса y(t) с шагом h=1, 0.5, 0.25.

в) Сравните результаты с точным решением уравнения , сделайте выводы;

г) Проинтегрируйте пункты а) – в) в терминах банковских операций.

2. Задана модель простейшего цифрового фильтра

Здесь х₀, х₁ . . . входной процесс, заданный дискретными значениями через шаг t=const, y₀, y₁ – соответственно выходной процесс. Составьте программу имитации работы фильтра. Постройте график амплитудно-частотной характеристики. Какой вывод можно сделать? Какой принцип и метод построения ИМ Вами применен?

3. Степень радиоактивности пропорциональна количеству остающегося радиоактивного вещества. Процесс уменьшения радиоактивности с течением времени может быть описан математической моделью

Предположим, что k = 0.01, y0 = 100 (г. радиоактивного вещества).

Имитировать процесс распада вещества во времени, построить график процесса, определить сколько вещества останется в момент t=100. Применить принцип t. Получите решение одним из методов вычислительной математики и в аналитически замкнутой форме.

4. Закон распределения интервала времени Т между прибытиями автобуса на остановку распределены по равномерному закону (5 мин., 10 мин.). Имитировать процесс прибытия автобусов в течении часа на ЭВМ.

5. В информационную систему поступают требования на выполнение заявок. Интервалы между требованиями Т распределены нормально. Использовав программный датчик и положив М[Т]=2, и дисперсию D[T]=1, имитировать процесс поступления требований. Положить количество требований равным 100 и получить оценки М[T] и D[T], сравнив их с теоретическими оценками.

6. Проанализируйте процесс решения упражнения 5 и составьте его этапы структурной имитационной модели (рис. 2.1.)