Пример решения задач по теме
«Экспериментально-статистические методы обработки результатов эксперимента»
Задание 1. Расчет оценок математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения. При оценке качества нагрева металла в нагревательных печах листопрокатного стана получены следующие данные по температуре поверхности заготовок после черновой группы стана (0С):
Необходимо определить статистические характеристики mx*, Dx*, x*. Решение (вариант 1). Найдем оценку математического ожидания для случайной величины Х – температуры поверхности заготовок: Вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления оценки дисперсии случайной величины Х приведены в таблице:
Среднеквадратичное отклонение температуры раската будет равно:
Задание 2. Расчет ошибки опыта и доверительного интервала. Результаты измерения содержания кислорода в продуктах сгорания на выходе из методической печи дают следующие значения (%):
Определить ошибку опыта и доверительный интервал с вероятностью Р=0,95.
Решение (вариант 1). %. (%)2. x*=0,227%. Ошибка опыта для Emx будет равна Emx=tT0,227/3. Значение критерия Стьюдента tT=2,31 находим из таблицы для f=N-1=8; q=5%. Значит Emx=2,31·0,227/3=0,175%. Истинное значение математического ожидания с вероятностью 95% находится в доверительном интервале 3,897±0,175%, или 3,7225≤3,897≤4,0725. Доверительный интервал для дисперсии переменной вычисляется по формуле где Dx – дисперсия переменной Х; f – число степеней свободы; - значение - распределения для q/2 уровня значимости; - значение - распределения для 1-q/2 уровня значимости.
Задание 3. Выявление наличия корреляционной зависимости между случайными величинами. Были проведены семь опытов по изучению процесса обжига извести в печи с кипящим слоем при определенной температуре. При этом факторами приняты: время контакта материала с греющей средой (с) – Х1; соотношение расходов воздуха и материала (г/г) – Х2. В качестве переменной состояния – выход обожженной извести (%). Результаты эксперимента приведены в таблице:
Требуется определить коэффициенты корреляции между факторами и между факторами и переменной состояния, т.е. коэффициенты ; оценить значимость полученных значений коэффициентов корреляции по критерию Стьюдента. Решение (вариант 1). Исходные данные и результаты предварительных вычислений сведены в таблицу:
где U=1,2,3,…,N; i=1,2,3,…,n; j=1,2,3,…,m; N – число опытов; - оценки математических ожиданий каждого фактора; - оценки среднеквадратичных отклонений.
Определяем расчетное значение критерия Стьюдента для каждой переменной: Табличное значение критерия Стьюдента определяем для f=N-2=5; q=0,05 по таблице. tТ=2,57. Поскольку все расчетные значения критерия Стьюдента меньше табличного, то это позволяет сделать вывод: Корреляционной связи между случайными переменными Х1, Х2 и Y нет, т.е. они статистически независимы.
Задание 4. Практическая реализация полного факторного эксперимента. Задача 1. Целью эксперимента является определение зависимости скорости нагрева металла в мартеновской печи y( ) от величины абсолютного избытка воздуха и тепловой нагрузки в период чистого кипения. Уровни варьирования факторов.
Вариант 1. Карта проведения эксперимента
Решение задачи 1 (вариант 1).
где γ – чило повторных опытов: . Результаты расчета заносятся в столбец карты проведения эксперимента.
Сумма построчных дисперсий:
где - максимальная из построчных дисперсий. Опыты равноточны, если G< , где - табличные значения критерия Кохрена, выбираемое в зависимости от N, γ и уровня значимости (надежности). Для данного случая при N=4, γ=2, p=0,95 табличное значение =0,906, т.е. G< . В случае неравноточности опытов необходимо увеличить число повторных экспериментов или повысить их точность. 4. Определяют коэффициенты уравнения регрессии по формулам:
а также усредненную дисперсию эксперимента с учетом повторных опытов Определяют ошибку и среднюю квадратичную ошибку коэффициенто регрессии и Находят значение доверительного интервала для коэффициентов регрессии где t – табличное значение критерия Стьюдента, выбираемое в зависимости от числа степеней свободы и выбранного уровня значимости (обычно 0,05). Коэффициент значим, если его абсолютное значение больше доверительного интервала, т.е. коэффициент должен бать больше ошибки его определения, взятой с определенным запасом. В данном примере при значение критерия Стьюдента t=2,78. Значение доверительного интервала Сравнивают полученные коэффициенты с доверительным интервалом: - значим - незначим - значим - значим Т.о. один из коэффициентов регрессии оказался незначим и окончательно уравнение регрессии запишется в виде При необходимости перехода от кодированных переменных к натуральным следует подставить в полученное уравнение соответствующие соотношения связи между этими переменными.
Для этого чаще всего применяют критерий Фишера: где - усредненная дисперсия эксперимента; - дисперсия адекватности или остаточная дисперсия здесь - рассчитанные полученному уравнению значения выхода при значениях кодированных переменных, соответствующих каждой из строк матрицы планирования. - усредненное значение выхода, полученное при реализации повторных опытов для соответствующей строки. Модель можно считать адекватной, если F<Fтабл. Табличное значение критерия Фишера находят в зависимости от числа степеней свободы и , где N – число вариантов опытов(строк) в матрице планирования; K – число варьируемых факторов; γ – число повторных опытов. В данном примере для определения вычислим сначала значения выхода, предсказываемые полученным выше уравнением регрессии: - посчитаны выше. Получим Ранее получено значение Вычисляем значение критерия Фишера F=1,0/56,5=0,02. Fтабл=7,7 при F<Fтабл, т.е. имеются основания сделать вывод об адекватности полученной модели.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (457)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |