Решение типовых задач ИДЗ №1
Задание № 1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол ; 4) уравнение высоты и ее длину; 5) уравнение и длину медианы ; 6) уравнение окружности, для которой служит диаметром; 7) точку пересечения медиан; 8) уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно стороне . Решение. 1) Расстояние между точками и определяем по формуле: . Подставляя в нее координаты точек и , найдем длину стороны : . 2) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , имеет вид: . Подставив в него координаты точек и , получим уравнение прямой : , , , , , . Для нахождения углового коэффициента прямой разрешим уравнение этой прямой относительно , то есть запишем в виде , где – угловой коэффициент: , , . Отсюда определяем угловой коэффициент прямой : . Аналогично по двум точкам и , составим уравнение прямой : , , , , . Найдем угловой коэффициент прямой : , , .
3) Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны и , находится по формуле: . Искомый внутренний угол образован прямыми и , угловые коэффициенты которых , . Отмечая на рисунке треугольника в системе координат направление угла против хода часовой стрелки, определяем порядок прямых: –первая, – вторая. Следовательно , . Подставляем угловые коэффициенты в формулу угла между прямыми: . Тогда . 4) Высота перпендикулярна стороне , поэтому угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, то есть . Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном угловым коэффициентом направлении, имеет вид: . Для составления уравнения высоты , подставим в эту формулу координаты точки и угловой коэффициент : , , , . Найдем длину высоты , то есть расстояние от точки до прямой . Расстояние от точки до прямой находится по формуле: . Подставим в нее координаты точки и коэффициенты из уравнения прямой : . Тогда .
5) Точка – середина отрезка . Для определения ее координат применим формулы деления отрезка пополам: , . Подставляем в них координаты точек и : , . То есть . Найдем длину медианы , то есть расстояние между точками и : .
6) Точка – точка пересечения прямых и . Чтобы найти ее координаты, решим систему уравнений этих прямых: . Применим правило Крамера: , , , , , . Итак, . Найдем координаты центра окружности, то есть середину отрезка , где , : , . Итак, – центр окружности. Радиус окружности равен половине длины отрезка : . Уравнение окружности имеет вид: , где – координаты центра окружности; – ее радиус. Подставив в него координаты точки и , получим уравнение окружности, для которой является диаметром: , .
7) Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении , начиная от вершины. Найдем координаты точки , делящей медиану в отношении . Используем формулы деления отрезка в данном отношении: , . Подставим в них координаты точек , и : , . Итак, – точка пересечения медиан.
8) Составим уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно стороне . Из условия параллельности прямых и следует, что их угловые коэффициенты равны, то есть . Подставляя в формулу координаты точки и , получим уравнение прямой : , , . При пересечении данных прямых получается треугольник (рис. 1).
Рис. 1. Треугольник Задание № 2. Дано уравнение эллипса . Построить эллипс. Найти полуоси, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет. Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду: . Для этого обе части равенства разделим на и выполним сокращения: . – каноническое уравнение эллипса. Так как , то – большая полуось, , – малая полуось. , , , – вершины эллипса. Найдем – расстояние от центра эллипса до каждого фокуса по формуле связи , получим , . Тогда , – фокусы эллипса. Эксцентриситет вычислим по формуле , получим . По полученным данным можно построить эллипс (рис. 2).
Рис. 2. Эллипс
Задание № 3. Даны действительная полуось и эксцентриситет гиперболы. Построить гиперболу и найти координаты вершин, фокусов, уравнения асимптот гиперболы. Решение , – вершины гиперболы. Из формулы для нахождения эксцентриситета гиперболы найдем значение – расстояние от центра гиперболы до каждого фокуса: . Тогда , – фокусы гиперболы. Из формулы связи найдем мнимую полуось : , . Составим каноническое уравнение гиперболы, которое имеет вид: . Получим . Уравнения асимптот гиперболы: . Подставив , и , получим . После преобразований имеем: – уравнения асимптот данной гиперболы. Построим гиперболу (рис. 3).
Рис. 3. Гипербола Задание № 4. Дано уравнение параболы . Построить параболу и найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы. Решение. – уравнение параболы, с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси , с ветвями, идущими вправо. – общий вид уравнения такой параболы, где – расстояние между фокусом и директрисой. Из уравнения находим: , откуда , . Директрисой параболы является прямая, параллельная оси , с уравнением , а фокус имеет координаты . Таким образом, для данной параболы директрисой служит прямая , а точка – фокусом. По данным исследования построим параболу (рис. 4).
Рис. 4. Парабола Задание № 5. Даны координаты точек , , , . Требуется: 1) написать уравнение плоскости ; 2) написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости ; 3) написать канонические и параметрические уравнения прямой ; 4) написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости ; 5) найти расстояние от точки до плоскости . Решение. 1) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , , имеет вид: . Подставим в него координаты точек , , : , , , , , . Таким образом, – уравнение плоскости .
2) Для составления уравнения плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости , найдем координаты ее нормального вектора, в качестве которого можно взять нормальный вектор плоскости в силу их параллельности. Если общее уравнение плоскости имеет вид , то ее нормальный вектор имеет координаты . Для плоскости с уравнением нормальным вектором является вектор . Он же служит и нормальным вектором для плоскости . Если плоскость проходит через точку перпендикулярно нормальному вектору , то ее уравнение имеет вид: . Подставим в него координаты точки и нормального вектора : , , . Таким образом, – уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .
3) Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки , , имеют вид: . Подставив в них координаты точек и , получим канонические уравнения прямой : , . От канонических уравнений прямой , введя параметр , перейдем к ее параметрическим уравнениям: ,
4) Составим канонические уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости . В качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор перпендикулярной ей плоскости , то есть . Если прямая проходит через точку параллельно направляющему вектору , то ее канонические уравнения имеют вид: . Подставив в них координаты точки и направляющего вектора , получим канонические уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости : , .
5) Расстояние от точки до плоскостис уравнением находим по формуле: . Подставим в нее координаты точки и коэффициенты из уравнения плоскости : . Таким образом, расстояние от точки до плоскости равно .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (475)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |