Некоторые сведения о последовательностях
Ряды (Теория и практика)
СОДЕРЖАНИЕ Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши……………. . 4 1.1. Некоторые сведения о последовательностях………………………… . 4 1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов: сходмость, расходимость, сумма ряда. Примеры……………………………………… 5 1.3. Основные свойтсва сходящихся рядов, необходимый признак сходимости…………………………………………………………………… 8 1.4. Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами……………… 12 1.5. Интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами……………………………………... ………………………………. 13 Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши… 17 2.1. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд…………….............. 17 2.2. Признаки сравнения рядов с положительными членами……………….... 18 2.3. Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами…… 22 2.4. Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными членами……………………………………………………………………… 25 Лекция 3. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов……………………………………………………. 27 3.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница........................................... 27 3.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов……………. 29 3.3. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов……………………… 34 Лекция 4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Формула Тейлора.. 35 4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости………. 35 4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля……………………. 37 4.3. Свойтсва степенных рядов…………………………………………………. 42 4.4. Формула Тейлора…………………………………………………………… 43 Лекция 5. Ряды Тейлора и Маклорена……………………………………. 49 5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции…………………………………………………………………. 49 5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды…….. 53 Задания по теме «Ряды»……………………………………………………. 61 1. Числовые ряды. Ряды с положительными членами…………………… 61 2. Знакопеременные ряды……………………………………………....... 66 3. Функциональные ряды………………………………………………… 69 4. Ответы………………………………………………………………… 72
Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие (по определённым правилам) определённое действительное число R; тогда множество упорядоченных действительных чисел называется числовой последовательностью и обозначается , где − общий член последовательности. Например, последовательность имеет общий член , где N. Определение 1. Последовательность называется убывающей, если N, и возрастающей, если N. Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число М, R, что N, и ограниченной снизу, если существует такое число М, R, что N. Определение 3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена как снизу, так и сверху, т.е. существует такое число М > 0 ( R), что . Определение 4. Число а называется пределом последовательности ,
что N такое, что для всех N: . При этом говорят, что последовательность сходится к числу а. Приведём некоторые свойства сходящихся последовательностей. –Если последовательность имеет предел, то он единственен. –Если последовательность имеет конечный предел, то эта последовательность ограничена. –Если последовательность возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел. –Если последовательность возрастает (убывает) и не ограничена сверху (снизу), то она имеет бесконечный предел + ¥ (− ¥). 1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов: Пусть задана бесконечная последовательность чисел R. Определение 5. Бесконечным числовым рядом называется выражение вида , обозначаемое как . Числа называются членами (элементами) числового ряда. Определение 6. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда: .Тогда и т.д. Получаем последовательность частичных сумм : . Таким образом, каждому числовому ряду можно поставить в соответствие последовательность частичных сумм : . Определение 7. Если существует конечный или бесконечный предел S последовательности частичных сумм , то он называется суммой ряда , т.е. . Если S конечно (S < ¥), то ряд называется сходящимся; если S = ¥ или S не существует, то ряд называется расходящимся и суммы ряд не имеет. Итак, если дан ряд, то всегда можно поставить вопрос, сходится ли он (иными словами, существует ли конечный предел ) или расходится? Приведём примеры исследования ряда на сходимость и нахождения его суммы. Пример 1. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму. Решение. Обозначим − общий член ряда. Тогда частичная сумма ряда . Так как , то . Тогда , т.е. ряд сходится и его сумма S = 1. Пример 2. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму. Решение. Обозначим − общий член ряда. Тогда, , то Пример 3. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Обозначим общий член ряда . Тогда, частичная сумма ряда , , т.е. сумма ряда и ряд расходится. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии. Решение. Пусть дана геометрическая прогрессия, где q − знаменатель прогрессии. Ряд называется рядом геометрической прогрессии. Обозначим − общий член ряда. При n- частичная сумма этого ряда равна . Рассмотрим частные случаи. –Если , то , т.е. ряд сходится.
–Если , то не существует, т.е. последовательность расходится, а значит расходится и исследуемый ряд геометрической прогрессии. –При ряд имеет вид . Тогда , , т.е. ряд расходится. –При , ряд имеет вид , тогда , т.е. предела последовательности не существует, а значит, искомый ряд расходится. Таким образом, ряд геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда , в остальных случаях ряд расходится. 1.3. Основные свойства сходящихся рядов, Пусть дан числовой ряд . Сформулируем его основные свойства. Свойство 1. Если сходится ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием или присоединением конечного числа членов, то сходится и сам данный ряд, и наоборот. Иными словами, отбрасывание или Доказательство. Пусть – частичная сумма ряда , – сумма отброшенных членов и – сумма членов ряда, входящих в сумму и не входящих в сумму Ck. При достаточно большом n все отброшенные члены будут содержаться в сумме , т.е. (k – фиксированное число, – const). Тогда, если существует , то существует и , т.е. исходный ряд сходится. И наоборот, если существует , то существует и , т.е. сходится составленный ряд. Аналогично доказывается сходимость при добавлении к ряду конечного числа членов. Свойство 2. Если сходится ряд , то ряд (С – константа) также сходится, причём его сумма равна . Доказательство. Пусть – частичная сумма ряда , , и − частичная сумма ряда , . Тогда . Отсюда, если существует (ряд сходится), то существует , т.е. ряд также сходится. Свойство 3. Если ряды и сходятся и их суммы равны A и B соответственно, то их можно почленно складывать (или вычитать), причём ряды также сходятся и их суммы равны . Доказательство. Пусть , и – частичные суммы этих рядов, тогда . Переходя к пределу при , получим Теорема 1 (необходимый признак сходимости рядов). Пусть ряд сходится, тогда его общий член стремится к 0 (при ) (обратное не всегда верно). Доказательство. Так как ряд сходится и его сумма равна S, то для его частичных сумм имеют место равенства ; . Что и требовалось доказать. Условие сходимости, сформулированное в теореме 1, является необходимым, но не достаточным, т.е. при выполнении условия ряд может расходиться. Рассмотрим пример такого ряда: , где − общий член ряда. Тогда . Частичная сумма ряда имеет вид . Очевидно, каждый член этой суммы , тогда оценка даёт неравенство: , следовательно, , т.е. исходный ряд расходится, хотя . Следствие из теоремы 1. Если общий член ряда аn (при ) не стремится к 0, то ряд расходится (достаточный признак расходимости ряда).
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Обозначим общий член ряда . Так как , то из следствия теоремы 1 следует, что ряд расходится. Пример 6. Исследовать на сходимость ряд Решение. Общий член ряда имеет вид . Данный ряд называется гармоническим, так как каждый его член равен среднему гармоническому двух соседних: . Очевидно неравенство: . Члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы по 2, 4, 8, 16, …, 2k-1 членов в каждой группе. Очевидно, сумма каждой группы можно оценить следующим образом: ; ; , т.е.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (369)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |