Возникновение теории вероятности как науки

Предыстория теории вероятности.

Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики, но и здесь наука обнаружила интересные закономерности - они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.
Теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности присущие случайным событиям. Методы теории вероятностей широко применяются при математической обработке результатов измерений, а также во многих задачах экономики, статистики, страхового дела, массового обслуживания. Отсюда не трудно догадаться, что и в авиации теория вероятностей находит очень широкое применение.
Моя будущая диссертационная работа будет связана со спутниковой навигацией. Не только в спутниковой навигации, но и в традиционных средствах навигации, теория вероятностей получило очень широкое применение, потому что через вероятность количественно выражаются большинство эксплуатационно-технических характеристик радиотехнических средств.

Необходимость понятия вероятности и исследований в этом направлении была исторически связана с азартными играми, особенно с играми в кости. До появления понятия вероятности формулировались в основном комбинаторные задачи подсчета числа возможных исходов при бросании нескольких костей, а также задача раздела ставки между игроками, когда игра закончена досрочно. Первую задачу при бросании трех костей «решил» в 960 году епископ Виболд из г. Камбрэ. Он насчитал 56 вариантов. Однако это количество по сути не отражает количество равновероятных возможностей, поскольку каждый из 56 вариантов может реализоваться разным количеством способов. В первой половине 13 века эти аспекты учел Ришар де Форниваль. Несмотря на то, что у него тоже фигурирует число 56, но он в рассуждениях учитывает, что, например, «одинаковое количество очков на трех костях можно получить шестью способами». Основываясь на его рассуждениях уже можно установить, что число равновозможных вариантов — 216. В дальнейшем многие не совсем верно решали эту задачу. Впервые четко количество равновозможных исходов при подбрасывании трех костей подсчитал Галилео Галилей, возводя шестерку (количество вариантов выпадения одной кости) в степень 3 (количество костей): 6³=216. Он же составил таблицы количества способов получения различных сумм очков.

Задачи второго типа в конце 15 века сформулировал и предложил первое (вообще говоря ошибочное) решение Лука Пачоли. Его решение заключалось в делении ставки пропорционально уже выигранным партиям. Существенное дальнейшее продвижение в начале 16 века связано с именами итальянских ученых Джероламо Кардано и Н. Тарталья. Кардано дал правильный подсчет количества случаев при бросании двух костей (36). Он также впервые соотнес количество случаев выпадения некоторого числа хотя бы на одной кости (11) к общему числу исходов (что соответствует классическому определению вероятности) — 11/36. Аналогично и для трех костей он рассматривал, например, что девять очков может получиться количеством способов, равным 1/9 «всей серии» (то есть общего количества равновозможных исходов — 216). Кардано формально не вводил понятие вероятности, но по существу рассматривал относительное количество исходов, что по сути эквивалентно рассмотрению вероятностей. Необходимо также отметить, что в зачаточном состоянии у Кардано можно найти также идеи, связанные с законом больших чисел. По поводу задачи деления ставки Кардано предлагал учитывать количество оставшихся партий, которые надо выиграть. Н. Тарталья также сделал замечания по поводу решения Луки и предложил свое решение (вообще говоря, тоже ошибочное).

Заслуга Галилея также заключается в расширении области исследований на область ошибок наблюдений. Он впервые указал на неизбежность ошибок и классифицировал их на систематические и случайные (такая классификация применяется и сейчас).

Возникновение теории вероятности как науки.

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Теория вероятностей возникла в середине XVII века. Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами.

Следующий (второй) период истории теории вероятностей ( XVIII в. и начало ХIХ в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это - период, когда теория вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы).

Третий период истории теории вероятностей, (вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Теория вероятностей развивалась в России и раньше (в XVIII в. ряд трудов по теории вероятности был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам теории вероятностей,связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии).

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например, ½, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым.

В 20-х гг. ХХ в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне естественным образом возникать предельные распределения, отличные от нормального.

В Западной Европе во 2-й половине ХIX в. получили большое развитие работы по математической статистике (в Бельгии - А. Кетле, в Англии - Ф. Гальтон) и статистической физике (в Австрии - Л. Больцман), которые наряду с основными теоретическими работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей в четвёртом (современном) периоде её развития. Этот период истории теории вероятностей характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием нескольких систем безукоризненно строгого математического обоснования теории вероятностей, новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классического анализа) средств теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа. В этот период при очень большом усилении работы по теории вероятностей за рубежом (во Франции - Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии - Р. Мизес, в США - Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб, в Швеции - Г. Крамер) современная наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение. В нашей стране новый период развития теории вероятностей открывается деятельностью С.Н. Бернштейна, значительно обобщившего классические предельные теоремы Чебышева, Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применениям теории вероятностей к естествознанию им математической статистике.

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики: в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике и других областях естествознания, разнообразнейших технических дисциплинах, экономике, социологии, биологии. В связи с широким развитием предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей стали использоваться не только для браковки уже изготовленной продукции, но и для организации самого процесса производства (статистический контроль в производстве).