Раздел «Элементы теории множеств»

1. Понятие множества

· Под множеством понимается некоторая вполне определенная совокупность объектов или элементов.

· Множество – совокупность некоторых(произвольных) объектов, объединённых по какому либо признаку.

· Множество – совокупность определенных различаемых объектов, причём таких, что для каждого объекта можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет.

§ Множество – любая совокупность объектов, которая обладает следующими свойствами.

o Элементы множества представляют собой попарно различные объекты.

o Элементы и состав множества не меняется с течением времени.

o Объекты составляющие множество называются элементами множества и обозначающие маленькими латинскими буквами (например: x, a, b)

o Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами ( Например: A, B, C, D)

Например: N - множество натуральных чисел. Z – множество целых чисел. И др.

{ 1,2,3,4} – множество содержит натуральные числа 1-2-3-4.

2. Понятие подмножества.

Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является так же элементом множества В.

То что множество А является подмножеством множества В обозначается

так, :

3. Понятие пустого множества

Пустое множество – это множество, не содержащие ни одного элемента. Оно обозначается и его мощность равна нулю (| |=0).

Пустое множество единственно.

Множество { } и { { } } не равномощные. В множестве { } нет ни одного элемента, а в множестве { { } } есть один элемент пустое множество.

4. Понятие универсального множества.

Универсальное множество – есть множество, обладающие таким свойством, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

В теории чисел универсальное множество обычно совпадает со множеством всех целых или натуральных чисел.

В математическом анализе универсальное множество может быть множеством всех действительных чисел.

 

5. Конечные\бесконечные множества, счетное множество, мощность множества, равномощное множество.

§ Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов.

А = {а1,a2,….,a5}

§ Бесконечным является множество всех натуральных чисел, целых, действительных и тд.

§ Счётное множество – это множество А, все элементы которого могут быть занумерованы в бесконечную последовательность а1,а2,….,аn , так чтобы при этом каждый элемент получил лишь один номер n и каждое натуральное число n было бы номером лишь одного элемента множества А.

§ Мощностью множества А называется кол-во входящих в его состав различных элементов и обозначается через |А|.

Например: А={a,b,c,d} , |A|=4

§ Множество А и В называются равномощными, если между их элементами существует взаимно однозначное соответствие.

Взаимно-однозначное соответствие предполагает, что каждому элементу множества В поставлен в соответствие ровно один элемент множества А.

{0,1,2} , {лошадь, корова, телевизор} – равномощные.

 

6. Способы задания множества. (табличная форма или пересечение элементов, описание признака или свойства элементов множества, с помощью порождающей процедуры).

· Табличная форма или перечисление элементов

А = {a1,a2,…,an}

Пример.

Множество студентов данной группы определяется их списком в журнале.

Множество всех стран на земном шаре – их списком в атласе.

Множество всех костей человека в книге по анатомии.

· Описание признака и свойства элементов в множестве

Множество = {х| х обладает свойством Р}

/понятие свойства.

Под свойством предмета «х» будем понимать такое повествовательное предложение, в котором нечто утверждается относительно предмета «х» и которое можно характеризовать как истинное или ложное по отношению к «х».

Пример.

- Свойства быть квадратом целого числа задает (бесконечное) множество всех квадратов целых чисел.

А = {y|Е х э z & y=x²}

- свойство делиться на число 2 без остатка задается множеством чётных чисел.

В = {y|Е х э z & y=x*2}

-Свойство рост студента 180 см задает множество студентов.

В = {х|х – студент рост, которого 180 см }

· С помощью порождающей процедуры.

Каждый последующий элемент множества определяется на основании предшествующих элементов.

Пример.

- каждый последующий элемент есть сумма двух предыдущих, задается следующим образом.

D={x_k | x₀=0, x₁=1, x_k=x_k-2+x_k-1}

· Графическое задание множества с помощью диаграмм Эйлера – Вена

 

7. Понятие подмножества, надмножества.

Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является так же элементом множества В.

То что множество А является подмножеством множества В обозначается

так:

Если каждый элемент множества A входит во множество B, то A называется подмножеством B, а B называется надмножеством A. Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Пример.

Множество всех чётных чисел является подмножеством множества всех целых чисел, множество {1,2,3}- подмножество множества {0,1,2,3}

8. Понятие булеана множества.

· Количество всех подмножеств ( множество всех подмножеств) некоторого множества А называется его булеаном, или множеством степенью, и обозначается Р(А), В(А).

И равно 2^|A| - где |A|- мощность множества А.

Пример.

А = {1,3,5}, P(А) = {0,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}}

Кол-во собственных подмножеств некоторого множества А равно 2^|A|-1.

9. Свойства теоретико-множественных отношений ( свойства отношений равенства, свойства отношения нестрогого включения, свойства отношения строгого включения).

· Свойство отношения равенства:

А=А(рефлективность);

А=В->В=А (симметричность)

А=В &В=С -> А=С (транзитивность)

 

· свойства отношения нестрогого и строгого включения

 

10. Операции над множеством

основные операции над множествами:

• пересечение:

• объединение:

Если множества и не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .

• разность (дополнение):

• симметрическая разность:

• Декартово или прямое произведение:

11. Понятие соответствия элементов множеств.

Определение. Соответствием между множествами А и В называется некоторое подмножество G их декартова произведения.

Если, то говорят, что соответствует при соответствии . При этом множество всех таких называют областью определения соответствия , а множество соответствующих значений называются областью значений соответствия .

В принятых обозначениях, каждый элемент , соответствующий данному элементу называется образом при соответствии , наоборот, элемент называется прообразом элемента при данном соответствии.

Соответствие называется полностью определённым, если , то есть каждый элемент множества имеет хотя бы один образ во множестве ; в противном случае соответствие называется частичным.

Соответствие называется сюръективным, если , то есть если каждому элементу множества соответствует хотя бы один прообраз во множестве .

Соответствие называется функциональным (однозначным),если любому элементу множества соответствует единственный элемент множества .

Соответствие называется инъективным, если оно является функциональным, и при этом каждый элемент множества имеет не более одного прообраза.

Соответствие называетсявзаимно-однозначным (биективным), если любому элементу множества соответствует единственный элемент множества , и наоборот. Можно сказать также, что соответствие является взаимно-однозначным, если оно является полностью определённым, сюръективным, функциональным, и при этом каждый элемент множества имеет единственный прообраз.

Пример 1: а) Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множествами слов русского и английского языка. Оно не является функциональным, так как почти каждому русскому слову соответствует несколько английских переводов; оно, также, не является, как правило, полностью определённым соответствием, так как всегда существуют английские слова, не включённые в данный словарь. Таким образом, это частичное соответствие.

б) Соответствие между аргументами функции и значениями этой функции является функциональным. Однако оно не является взаимно-однозначным, так как каждому значению функции соответствуют два прообраза и.

в) Соответствие между расположенными на шахматной доске фигурами и занимаемыми ими полями является взаимно однозначным.