Операции над множествами. Теория множеств

Теория множеств.

Множества. Пустое множество. Универсальное множество. Подмножества. Собственное подмножество. Способы задания множеств. Мощность множества. Равномощные множества. Конечные и счётные множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, разность, симметрическая разность). Законы алгебры множеств. Характеристические функции. Декартово произведение множеств. Отношения и свойства отношений. Функции на множествах.

Определение множества.

Множество - это совокупность определённых различаемых объектов, причём таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет.

Элементы множества обычно обозначаются маленькими буквами, сами множества – большими. Например…

Знак принадлежности и непринадлежности . Конечное, бесконечное, пустое множество .

Множество А называют подмножеством множества B ( ) если все его элементы принадлежат множеству B. Множества равны A=B, если они содержат одни и те же элементы ( ) Надмножества.

Собственное подмножество.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Любое множество является подмножеством самого себя:

Мощность множества |A| - количество элементов множества.

Семейство множества А (булеан) (А) – множество всех подмножеств.

Универсальное множество E - множество всех элементов для данной задачи

Характеристическая функция или индикатор - или = 1 если принадлежит A и 0 если не принадлежит. Функция показывает принадлежность элементов множеству.

Особые множества: N (Натуральные числа), Z(целые числа), R(вещественные числа), Q(рациональные числа), I(Комплексные числа).

Способы задания множеств

Списком: Иногда, список может содержать многоточие: , однако такая запись не является строгой и может быть использована только там, где смысл её ясен. Более строго следовало бы записать ,

Порождающей процедурой:

Например, множество степеней 2:

Описанием свойств элементов. Описание должно быть точным и недвусмысленным.

Например: А – множество чётных чисел. B – множество белых ворон.

Множество симпатичных девушек – не катит, т.к. воспринимается каждым по разному.

Графическое. (Диаграммы Эйлера – Венна). Круг Эйлера - ограничивает множество. Рамка - универсальное множество.

Операции над множествами

Основные операции: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение.

Объединение множеств – это множество, состоящее из элементов входящих в любое из множеств A или B: – содержит множества входящие

Операция объединения может быть использована для объединения нескольких множеств:

Пересечение множеств – множество, содержащее элементы, входящие в оба множества:

Пересечение множеств – это подмножество элементов множества A, не входящих в B:

Симметрическая разность – состоит из элементов входящих либо в A либо в B, но не в оба множества сразу.

Дополнение до универсального множества - подмножество универсального множества, элементы которого не содержатся в A.

Операциям над множествами соответствуют операции над их характеристическими функциями:

Равномощные множества – это множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие.

Счётное множество – множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Множество натуральных чисел – счётно. Множество рациональных чисел счётно. Множество вещественных чисел – несчётно.

Законы алгебры множеств:

Коммутативность:

,

Ассоциативность:

Дистрибутивность:

Идемпотентность:

Действия с универсальным и пустым множествами:

,

,

,

Де Моргана: