II. Графическое представление результатов измерений
В ряде случаев для большей наглядности, экспериментальные данные целесообразно представлять графически в виде точек или линий. Такие графики позволяют быстро распознать характер исследуемых зависимостей, а в ряде случаев позволяют даже установить вид исследуемых зависимостей. Приведем общие рекомендации для построения графиков.
1.Для графиков используется миллиметровая бумага с линейным масштабом. 2. Масштаб для построения графиков выбирается исходя из следующих соображений: а) экспериментальные точки не должны сливаться б) графики, близкие к прямым линиях, должны располагаться, примерно, под углом 45 градусов к осям координат в) следует использовать либо десятичный масштаб (0,1; 1;10;100 и т.д. единиц измеряемой величины в 1 см.), либо масштабы 2:1 или 5:1. г) начало координат (X = 0 ,Y= 0) не обязательно должно присутствовать на графике. д) снизу или справа от оси абсцисс, слева или сверху от оси ординат следует указать название или (и) обозначение физической величины и через запятую- единицу измерения, относя сюда и возможный десятичный множитель. Благодаря последнему, масштабные деления на осях помечаются, как правило, не более чем трехзначными числами. 3. При построении графиков следует придерживаться следующих правил: а) первоначальную разметку масштаба и нанесение экспериментальных точек выполнять мягким карандашом и лишь окончательно чернилами. б) если на одном графике необходимо сравнить несколько экспериментальных зависимостей, то следует пользоваться разными обозначениями для точек, относящихся к разным величинам (например, и т.д.) можно использовать так же разные цвета. в) при сравнении экспериментальной и теоретической зависимостей теоретическую кривую следует построить по произвольно выбранным точкам, а экспериментальную кривую лучше не строить, указать отрезками при каждой точке величины погрешностей. г) не соединять экспериментальные точки ломаной линией. Наилучшую плавную кривую следует провести с помощью лекал. д) наиболее удобны для зрительного восприятия прямолинейные графики. Поэтому, если есть возможность, следует преобразовать исследуемую зависимость в линейную и изображать на графике зависимость между теми величинами, между которыми связь линейная. Например, экспоненциальные зависимости или логарифмические удобно представлять в полулогарифмических координатах, а степенные - в логарифмических координатах. Необходимо хорошо представлять себе, что физические формулы записываются не для физических величин, а для их численных значений. Другими словами, эти формулы представляют собой численные равенства. Согласно Международному стандарту ИСО 31/0 (Общее положение к ИСО 31), аргументами показательных и логарифмических функций должны быть или безразмерные величины или числовые значения величин.
В качестве примера, рассмотрим представление экспериментальных данных, полученных в результате исследования зависимости вязкости крови от показателя гематокрита (данные взяты из монографии «Механика кровообращения» авт. К. Каро, Т. Педли д.р.)
По оси абсцисс откладываем показатель гематокрита H, а по оси ординат соответствующую этим значениям вязкость крови. Нанесенные точки указывают на криволинейную зависимость. График получается очень не наглядным, и сделать какие либо предположения о характере зависимости практически невозможно Добавим нашу таблицу строкой Ln{η} и перестроим график в полулогарифмических координатах, откладывая по оси ординат не вязкость, а численное значение логарифма вязкости.
Экспериментальные точки теперь хорошо укладываются на прямую линию, что дает возможность предположить о наличии экспоненциальной зависимости коэффициента вязкости от показателя гематокрита. η = η0 exp(αH). Более того, по графику, экстраполируя прямую до пересечения с осью ординат можно определить вязкость при нулевом гематокрите, т.е. вязкость плазмы крови: η0 = 0,0012 Па*с Тангенс угла наклона прямой дает возможность определить показатель степени экспоненты Окончательно имеем: , Па*с η = 0,0012 exp(10,4H),Па*с Пример 6 В той же монографии представлены данные зависимости коэффициента вязкости крови η от скорости сдвига
Представим экспериментально полученные данные на графике
Опять получаем очень не наглядный график, и сделать какие либо предположения о характере зависимости практически невозможно.
Перестроим график в полулогарифмических координатах: η; Ln { }
График становится более наглядным, однако сказать что- либо определенное о характере зависимости невозможно. Перестоим график в логарифмических координатах Ln {η}; Ln { } Точки хорошо укладываются на прямую линию. Полученная линейная зависимость позволят предположить о степенной зависимости вязкости η от скорости сдвига . Определяя из графика η0 = 27,1 [Па*с] и m = tg α = - 0,43 Окончательно получим:
, Па*с
III. Метод наименьших квадратов. Очень часто, несмотря на просматриваемый линейный характер исследуемой зависимости, экспериментальные точки не укладываются на прямую, имея значительный разброс. В этом случае, для обработки результатов экспериментальных данных применяют метод наименьших квадратов. 1.Предполагается, что величины х и y связаны линейной зависимостью. однако коэффициенты и неизвестны. 2.Предполагается, что ошибка при измерении величины , значительно (по крайней мере, на порядок) меньше ошибки при измерении величины y . Поэтому погрешностью в измерении можно пренебречь. З.Для определения и выполняем пар измерений 4.Если считать, что - точное значение, то ему должно соответствовать значение yi ,равное ; а в эксперименте получено другое значение yi , которое, вообще говоря, не совпадает с . (см. график)
расстояние первой точки от предполагаемой прямой расстояние второй точки от предполагаемой прямой расстояние i -ой точки от предполагаемой прямой ………………………………………………………………………………. расстояние n-ой точки от предполагаемой прямой
5.Согласно теории метода, значения a и b следует определять следующим образом. Т.к. эти расстояния будут встречаться как с положительным, так и с отрицательным знаком необходимо взять сумму квадратов этих расстояний Это выражение по смыслу представляет собой сумму квадратов отклонений измеренных yi от истинных. В методе наименьших квадратов утверждается, что наилучшими оценками истинных значений коэффициентов и служат значения, обеспечивающее минимум величины (отсюда название метода). Должны выполняться условия:
и . Найдем эти частные производные и приравняем их нулю. 1) 2) Т.к. вторые производные больше 0, функция , при найденных a и b, будет минимальна. Из первого уравнения получаем Из второго или Отсюда (15) Подставляя найденное в первое уравнение, получим: (16) На практике сначала находят коэффициент затем коэффициент . Пример 7 Заданы 10 пар измеренных значений xi и yi
Наносим эти точки на график (см. рис.3). Точки имеют значительный разброс и «на глаз» провести усредняющую прямую невозможно.
Рис.3 Заполняем таблицу.
Последний столбец таблицы используют для нахождения коэффициентов и по формулам (16) и (15). В нашем случае a = 2,45 b = -19,43
По найденным коэффициентам на графике по двум произвольно взятым значениям и строят прямую линию, y = 2,45 x – 19,43, которая является наилучшим усреднением экспериментальных точек. Если зависимость между исследуемыми величинами нелинейная, то путем замены переменных ее можно преобразовать к линейной, после чего можно воспользоваться изложенным методом. В качестве примера рассмотрим обработку экспериментальных данных при проведении лабораторной работы «Методы измерения температур». В работе снимается зависимость сопротивления термистора r от температуры T, которая определяется с помощью термопары. Эта зависимость не линейная и имеет вид: , где: А - некоторая постоянная; U-энергия активации; T-абсолютна температура; к - постоянная Больцмана. Применить метод наименьших квадратов для обработки результатов сразу нельзя. Преобразуем эту зависимость в линейную. Логарифмируя левую и правую часть, получим: Как видно, теперь существует линейная зависимость между и .
Полученные экспериментальные данные занесем в первые две строки таблицы. Заполним оставшиеся строки таблицы.
Данные, представленные в 4 и 5 строках таблицы нанесем на график. Точки имеют некоторый разброс, но так как зависимость теперь линейная, можно применить метод наименьших квадратов.
Заполняем 6 и 7 строки таблицы и рассчитываем коэффициенты a и b
По найденным коэффициентам проводим прямую, усредняющую экспериментальные точки.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1047)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |