Абсолютная и относительная погрешности. Погрешности вычислительного алгоритма

Погрешности вычислительного алгоритма.

Необходимо подчеркнуть, что процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислитель­ного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, по­тому что на каждом этапе вносятся те или иные погрешности. Так, построение математической модели связано с упрощением исход­ного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов урав­нения и других входных данных. По отношению к численному ме­тоду, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исход­ную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и по­грешность округления. Поясним причины возникновения таких по­грешностей.

Обычно построение численного метода для заданной мате­матической модели разбивается на два этапа: а) формулиров­ка дискретной задачи, б) разработка вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи. Например, если исходная математическая задача сформулирована в виде си­стемы дифференциальных уравнений, то для численного решения необходимо заменить ее системой конечного, может быть, очень большого числа линейных или разностных алгебраических урав­нений. В этом случае говорят, что проведена дискретизация исход­ной математической задачи. Простейшим примером дискретизации является построение разностной схемы путем замены дифферен­циальных выражений конечно-разностными отношениями. В об­щем случае дискретную модель можно рассматривать как конеч­номерный аналог исходной математической задачи. Ясно, что ре­шение дискретизированной задачи отличается от решения исход­ной задачи. Разность соответствующих решений и называется по­грешностью дискретизации.

Как уже отмечалось, дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Невозможно найти решение такой системы точно и в явном виде. Поэтому при­ходится использовать тот или иной численный алгоритм решения системы алгебраических уравнений. Входные данные этой систе­мы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате решение, полу­ченное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется по­грешностью округления (иногда ее называют вычислительной по­грешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округ­ления.

Абсолютная и относительная погрешности

Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено , считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой) понимают разность между точным и приближенным значением числовой величины:

Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина называется известным приближением к точному значению числовой величины - любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что:

Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что:

.

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.

Так как точное значение обычно неизвестно, то непосредственное вычисление величин абсолютной и относительной погрешностей по предложенным формулам невозможно. Более реальная и часто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок погрешности вида:

(*)

где и — известные величины, которые называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Поскольку точное значение неизвестно, на практике используют приближенные равенства вида:

В литературе по методам вычислений широко используется термин "точность". Точное значение величины — это значение, не содержащее погрешности. Повышение точности воспринимается как уменьшение погрешности. Часто используемая фраза "требуется найти решение с заданной точностью " означает, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданной величины . Вообще говоря, следовало бы говорить об абсолютной точности и относительной точности, но часто этого не делают, считая, что из контекста ясно, как измеряется величина погрешности.