Полиномиальная регрессия

Полиномиальная регрессия тоже линейная, поскольку полиномиальные коэффициенты (а_i) входят в уравнение регрессии линейно. Она отличается от других моделей регрессии тем, что включает в себя больше двух коэффициентов. Формально регрессия с помощью уравнения прямой также является полиномиальной регрессией, однако этот термин обычно применяется для полиномов второй степени или выше. В программе Ехсеl можно построить линии тренда, степень которых находится в пределах от 2 до 6.

Примечание. Общепринято записывать полиномы, размещая степени слева направо в порядке возрастания. Однако в Ехсеl уравнения полиномиальной линии тренда записываются в обратном порядке, на что следует обратить внимание при чтении уравнений.

Чтобы построить полиномиальную регрессию второго порядка, отобразите на экране диалоговое окно Формат линии тренда, дважды щелкнув на существующей линии тренда (рис. 2.12).

Рис. 2.12

Выберите тип Полиномиальнаяи установите Степень полинома,равную 2 (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Как видим, полиномиальная линия тренда описывает данные лучше линейной, и соответствующая ей величина R² ближе к единице.

Любое регрессионное уравнение – это упрощение реальности, вынужденное "отрешение" от реально действовавших факторов, их отсечение. Поэтому конечный результат формального моделирования всегда должен оцениваться пользователем с точки зрения здравого смысла на основе неформального комплекса знаний об условиях развития процесса и о допустимых предельных значениях показателя.

На одном наборе исходных данных можно получить до девяти уравнений трендов. Задача исследователя состоит в отборе наилучшего тренда, по которому можно было бы построить надежный прогноз.

Порядок выполнения лабораторной работы

Часть 1

1. В соответствии с порядковым номером фамилии студента в журнале группы выписать из табл. 1 Приложения I значения аргументов и соответствующие им значения функции.

2. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по 4-м точкам из таблицы 1.

3. Проверить значения функции для узлов интерполяции.

4. Вычислить по интерполяционной формуле Лагранжа значение функции для значения аргумента Х, указанного в 14-м столбце таблицы заданий (см. Пример 1.1).

5. Составить программу для вычисления значения функции для X по 6-ти точкам из таблицы 1.

6. Выполнить вычисления с помощью Ехсеl и составленных программ.

7. Построить с помощью Excel график интерполяционного многочлена.

8. Сравнить результаты вычислений «вручную» и на компьютере.

Часть 2

1. В соответствии с порядковым номером студента в журнале группы выписать из табл. 2 Приложения 1 значения экспериментальных данных.

2. Построить таблицу вычислений значений .

3. По построенной таблице вычислить значения сумм.

4. По результатам вычислений записать систему уравнений для вычисления коэффициентов а₁ и a₀ линейной аппроксимации и решить полученную систему.

5. Записать систему уравнений для вычисления коэффициентов а₂ , а₁ и a₀ квадратичной аппроксимации и решить полученную систему.

6. Записать аппроксимирующие функции для линейной и квадратичной аппроксимации.

7. Построить на графике заданные точки и полученные зависимости.

8. Подсчитать отклонения аппроксимирующих зависимостей e_i для каждой точки и суммарное квадратичное отклонение во всем диапазоне эксперимента.

9. Сформировать с помощью Ехсеl график таблично заданной функциональной зависимости.

10. Выполнить линейную регрессию с помощью функций Ехсеl (см. Пример 2.2).

10. Построить полиномиальные линии тренда первой, второй и шестой степени.

11. Сравнить полученные результаты вычислений с результатами «ручного» счета.

12. Сделать выводы о полученных результатах.

13. Оформить отчет.

14. Защитить отчет. Оформленный отчет дается на подпись преподавателю, ведущему занятия. Необходимо уметь объяснить каждую запись, содержащуюся в отчете, а также ответить на теоретические вопросы по материалам лабораторной работы.

Приложение 1

Таблица 1

Варианты заданий к лабораторной работе №2 (часть 1)

Таблица 2

Варианты заданий к лабораторной работе №2 (часть 2)