Десятичная запись приближенных значений чисел

Абсолютная погрешность

Пусть х – точное значение некоторой величины; а – приближенное значение числа х.

Определение 1. Разность точного и приближенного значения величины называется погрешностью приближения

Определение 2. Модуль разности точного и приближенного значения величины называется абсолютной погрешностью приближения

Определение 3. Предельной абсолютной погрешностью приближения называется число , такое что

Замечание. Очевидно, что чисел бесконечно много. На практике выбирают возможно меньшее из этих чисел.

Относительная погрешность

Определение 4. Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения величины х

Замечание. Так как точное значение величины обычно неизвестно, то его заменяют приближенным значением, тогда

Определение 5. Предельной относительной погрешностью приближения называется число , такое что

Замечание. Обычно за предельную относительную погрешность принимают число . Иногда ее выражают в процентах .

Очевидно, что если известна относительная погрешность, то

Десятичная запись приближенных значений чисел

Определение 6. Цифра α в десятичной записи приближенного значения величины х называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда, которому принадлежит цифра α.

Пример. х = 7,158 ± 0,0009, где 0,0009 – абсолютная погрешность приближения. Выясним, какие цифры числа являются верными в широком смысле. По определению мы должны сравнить единицу разряда, в котором стоит цифра с абсолютной погрешностью. Обычно этот процесс начинают с последней цифры: цифра 8 стоит в разряде тысячных, единицей этого разряда является 0,001; сравним единицу разряда с абсолютной погрешностью 0,001>0,0009, то есть абсолютная погрешность меньше, чем единица разряда, в котором стоит цифра 8, следовательно, эта цифра верна в широком смысле.

Очевидно, что все остальные цифры данного числа в широком смысле будут верны, так как единицы разрядов, в которых они стоят уже больше, чем 0,001.

Определение 7. Цифра α в десятичной записи приближенного значения величины х называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность приближения не превосходит половины единицы того разряда, которому принадлежит цифра α.

Пример. х = 7,158 ± 0,0009, где 0,0009 – абсолютная погрешность приближения. Выясним, какие цифры числа являются верными в строгом смысле. По определению мы должны сравнить половину единицы разряда, в котором стоит цифра с абсолютной погрешностью. Этот процесс тоже начинают с последней цифры: цифра 8 стоит в разряде тысячных, половина единицы этого разряда 0,0005; сравним это число с абсолютной погрешностью 0,0005 < 0,0009, то есть абсолютная погрешность больше, чем половина единицы разряда, в котором стоит цифра 8, следовательно, эта цифра верной в строгом смысле не является. Цифра 5 стоит в разряде сотых половина единицы этого разряда 0,005; сравниваем: 0,005 > 0,0009 , то есть абсолютная погрешность меньше, чем половина единицы разряда, в котором стоит цифра 5, следовательно, эта цифра и все цифры данного числа, стоящие левее являются верными в строгом смысле.