Метрические пространства (м.п.)

Теория множеств

 

Множество-совокупность объектов любой природы, называемых элементами множества.

Тавтология- множество синоним совокупности, и так всегда, так как это самое общее исходное понятие математики и внутри этой теории определено быть не может (нелинейное определение материи).

" элементы множества разные, порядок следования несущественен.

C и т.п. – множества, х и т.п. – элементы множества

Множество может быть задано: перечислением элементов

C{х1,х2,х3}, указанием характеризующего свойства Х={х | х-простое}

х Î Х, у Ï Х

 

Множества:

- конечные

- бесконечные: счётное, несчётное (не более чем счётное)

- пустое = Æ

 

{Хi} i= ,n – семейство множеств. Кортеж

(после отображений)

 

Примеры

Х=Y когда они состоят из одних и тех же элементов

Х Y все элементы Х есть элементы Y, но не наоборот, Х – подмножество

Каждое множество- подмножество самого себе

Х Y Х- подмножество, которое либо Х=Y ,либо Х Y

Х= х Y x имеет свойство Р

 

Х=Y Х Y и Y Х

Х Y

Х Y Х Y и Х Y(эквивалентность)

 

 

Операции

 

1.Пересечение Х Y, Х Y=Æ - нет общих элементов

 

{2,4, } {1, ,10}

 

2.Объединение

 

Х Y

 

3.Разность

 

Х \ Y

 

Дополнение Х к W

 

Zw(x) = {w W\x X W}

 

U – универсальное множество Zu(x)=¯|x или

 

Свойство множеств: ассоциативность, дистрибутивность, коммутативность, идемнотентность (Х X=X, и Y Y=Y), свойства дополнительности (деМорган)

 

4.Декартово произведение множеств

 

упорядоченные двойники

 

 

соответственно и т.п. степени

 

 

 

5.Разбиение. Факторизация множеств

 

Фактор – множества

Множество подмножеств, Х множества Х

1.

 

2.

 

3. де Морган!!!!

 

4.

 

 

 

 

Мощность множества

 

Отношения на множествах

... Меньше (равно, эквивалентно и т.п.)…..делится на….. :неполные предложения – предикаты обозначающие отношения

 

Бинарные отношении

 

 

- отношения, делимость без остатка. Отношение может быть пустым.

Тернарное подмножеств и т.п.(упорядоченные тройки)

N – арное, эквивалентность, порядок

 

Свойства отношений

 

1.Рефлексивность: справедливо

Если не выполняется отношение антирефлексивно (равенства рефлексивны, строго больше - антирефлексивны)

 

2.Симметричность: для и справедливо хRy

 

Антисимметричность (х,y) (у равенства строгий порядок)

Антисимметрические отношения являются и антирефлексивными.

 

3.Тождественность: xRy и yRx x=y

(нестрогий порядок).

 

4.Транзитивность xRy и yRz xRz

параллельность, равенство – транзитивно

перпендикулярность, неравенство – не транзитивно ( )

 

Обратное отношение: для R <> определить R^-1 ,считая, что yR^-1 x xRy

x – является делителем y – обратное- y кратно x, x>y R¹ y<x

 

5.Полное

всегда xRy или yR^-1x

 

6.Нулевое отношение – не выполняется ни для одной пары X Y

 

7.Инивереальное - выполняется для пары.

 

8.Дополнительное: выполняется, не выполняется.

 

Основные виды отношений:

обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности - отношение эквивалентности. (равенство, подобие, проживание в одном городе)

~Х2

Множество живущих в стране, множество всех живущих в одном городе- класс эквивалентности.

Х1~Х2,

Х2={ } X2- класс эквивалентности содержащий элемент Х2

Отношение эквивалентности разбивает множество на классы эквивалентности.

Класс эквивалентности – непересекающиеся подмножества, фактор- множество.

 

Низкий порядок ( )

рефлексивность, транзитивность, антисимметричность.

Порядок

Тождественность, транзитивность.

Строгий порядок (<)

Антисимметричность, транзитивность

 

Х1 Х2 – Х1 предшествует Х2

Х’ , Х упорядоченное множество

Мажоранта Х’ – элемент Хmax X, следующий за всеми элементами Х’, Xmax .

Мажоранта <> и не принадлежать Х’ .Элемент является мажорантой множества Х’ и то он называется наибольшим элементом max множества Х’.

Мажоранта Хmin X предшествующий всем элементам Х’, если принадлежит Х’, то наименьший или minХ’.

 

 

Мощность множества

Отображение (закон) инъекция

сюръекция

Х,Y f y Y биекция

y=f(x)

 

Однозначное отображение Х в Y, или функция определенная на Х и принимающая значения на Y

 

Образом элемента х Х называется f(x) Y

x- идеал f(x) или прообраз f(x)

 

Образом X’ X

F(X’)=Uf(x)

f( )= ; для однозначных

f1*f2 – суперпозиция отображений ассоциативна f1*f2(x)=f1(f2(x))

 

f²,f³,….=f1*f2….(x)

= U – замена переменной - замена функции

 

 

 

Обратное отображение

 

f^-1(y)={x|y f(x)²}

 

Y f^-1(y)={x|f(x) }

f^-1*f(x)=x- идеал f(x). f^-1 не всегда является отображением (всегда только для взаимного отображения)

 

Множество отображений E в F - F^E

(x_i)_i - семейство элементов из Е с индексами из I (или I )

не путать с {x_i} a

a*e=a a^-1*a=e

e*a=a a*a^-1=e

множество семейств (Еⁱ) последовательности частный случай семейств. Упорядоченная пара (х_1,х₂) ~ (х_i)_i=1,2

z=f(x,y)- операция

 

Метрические пространства (м.п.)

Е – м.п. если для его элементов введено понятие расстояния.

d(x,y)

Свойства метрики

1.Симплатрия d(x,y)=d(y,x)

2.Положительность d(x,y)>0 если х y и d(x,x)=0

3.Неравенство треугольника y

z

d(x,z) d(x,y)+d(y,z)

отсюда d(x,z) |d(x,y)-d(y,z)|

x

для n точек

d(x,x_n) d(x₁,x₂)+d(x₂,x₃)+d(x_n-1,x_n)

 

Дискретная метрика d(x,y)=1 x y

d(x,x)=0

 

Многообразие

Каждому х Х ставится в соответствие

<> z=f(x,y)-бинарная операция

отображение-операция n –арная операция

Группа, полугруппа, внутренние и внешние операции.