Задачи для самостоятельного решения. 1.Точка движется по окружности радиусом /?

1.Точка движется по окружности радиусом /? = 4 м. Закон ее движения выражается уравнением s = A-\-Bt , где Л = 8м, В=— 2 м/с². Определить момент времени t, когда нормальное ускорение а„ точки равно 9 м/с . Найти скорость v, тангенциальное а_х и полное а ускоре­ния точки в тот же момент времени г. [1,5 с; —6 м/с; —4 м/с²; 9,84 м/с²]

2. Две материальные точки движутся согласно урав­нениям, xi = Ait + Bxt² + dt³ и x₂ = A₂t + B₂t² + C₂t³, где Л, = 4 м/с, В, = 8 м/с², Ci = — 16 м/с³, Л₂=2м/с, В₂ = ₌ _4 м/с², С₂=1 м/с³. В какой момент времени t уско­рения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v\ и г>2 точек в этот момент. [0,235 с; 5,1 м/с; 0,286 м/с]

3. Шар массой т,= 10кг сталкивается с шаром мас­сой т₂=4кг. Скорость первого шара t>i=4м/с, второ­го— v₂= 12 м/с. Найти общую скорость и шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары дви­жутся навстречу друг другу. Удар считать прямым, центральным, неупругим. [6,28 м/с; —0,572 м/с]

4. В лодке массой М = 240кг стоит человек массой

т = 60кг. Лодка плывет со скоростью v = 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со ско­ростью и = 4м/с (относительно лодки). Найти скорость лодки после прыжка человека: 1) вперед по движению лодки; 2) в сторону, противоположную движению лодки. [ 1 м/с; 3 м/с]

5. Человек, стоящий в лодке, сделал шесть шагов вдоль нее и остановился. На сколько шагов передви­нулась лодка, если масса лодки в два раза больше (мень­ше) массы человека? [2 шага; 4 шага]

6. Из пружинного пистолета выстрелили пулькой, масса которой т = 5г. Жесткость пружины k = = 1,25кН/м. Пружина была сжата на А/=8см. Опре­делить скорость пульки при вылете ее из пистолета. [40 м/с]

7. Шар массой тп\ = 200 г, движущийся со скоростью v\ = 10 м/с, сталкивается с неподвижным шаром массой т₂ = 800 г. Удар прямой, центральный, абсолютно упру­гий. Определить скорости шаров после столкновения. [—6 м/с; 4 м/с]

 

8. Шар, двигавшийся горизонтально, столкнулся с неподвижным шаром и передал ему 64% своей кинети­ческой энергии. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Во сколько раз масса второго шара боль­ше массы первого? [В 4 раза]

9. Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться вокруг оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра Ш\ = 12 кг. На цилиндр намотали шнур, к которому привязали гирю массой т₂ = 1 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? Какова сила натяже­ния шнура во время движения гири? [1,4 м/с²; 8,4 Н]

 

10. Через блок, выполненный в виде колеса, переки­нута нить, к концам которой привязаны грузы массами т, = 100 г и т₂ = 300г. Массу колеса М=200 г считать равномерно распределенной по ободу, массой спиц пре­небречь. Определить ускорение, с которым будут дви­гаться грузы, и силы натяжения нити по обе стороны блока. [3,27 м/с²; 1,31 Н; 1,96 Н]

11. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили одинаковую угловую скорость а> = = 63 рад/с и предоставили их самим себе. Под действием сил трения маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки N = 360 оборотов. У какого маховика тормозящий момент был больше и во сколько раз? [У первого больше в 1,2 раза]

 

*—105

верхности Земли и ее радиус R считать известными.

169.Какова масса Земли, если известно, что Луна в течение года совершает 13 обращений вокруг Земли и расстояние от Земли до Луны равно 3,84 «10⁸ м?

170. Во сколько раз средняя плотность земного ве­щества отличается от средней плотности лунного? При­нять, что радиус i?3 Земли в 390 раз больше радиуса Rn Луны и вес тела на Луне в 6 раз меньше веса тела на Земле.

171. На стержне длиной /=30 см укреплены два оди­наковых грузика: один — в середине стержня, другой — на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L и пе­риод Т простых гармонических колебаний данного физи­ческого маятника. Массой стержня пренебречь.

172. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х= =Aismoait и y=A₂cos(u2t, где А\=8 см, Л₂=4 см, (Di=o)2=2 с^-1. Написать уравнение траектории и постро­ить ее. Показать направление движения точки.

173.Точка совершает простые гармонические колеба­ния, уравнение которых x=Asmoit, где Л=5 см, ш= = 2 с^-1. В момент времени, когда точка обладала потен­циальной энергией 11=0,1 мДж, на нее действовала воз­вращающая сила /^г=5 мН. Найти этот момент времени t.

 

174.Определить частоту v простых гармонических колебаний диска радиусом /?=20 см около горизонталь­ной оси, проходящей через середину радиуса диска пер­пендикулярно его плоскости.

175.Определить период Т простых гармонических ко­лебаний диска радиусом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

176.Определить период Т колебаний математического маятника, если его модуль максимального перемещения Дг=18 см и максимальная скорость и_тах=16 см/с.

177. Материальная точка совершает простые гармони­ческие колебания так, что в начальный момент времени смещение х₀—4 см, а скорость и₀=Ю см/с. Определить амплитуду А и начальную фазу фо колебаний, если их период Т=2 с.

178. Складываются два колебания одинакового на­
правления и одинакового периода: x\=A_t s'ma)\t и Х2=
= Л₂5тш₂(/+ т), где Л1 = Л₂ = 3 см, Ш) = и₂ = лс^-1,
т=0,5 с. Определить амплитуду А и начальную фазу ср₀

результирующего колебания. Написать его уравнение. Построить векторую диаграмму для момента време­ни /=о.

179.На гладком горизонтальном столе лежит шар массой М=200 г, прикрепленный к горизонтально рас­положенной легкой пружине с жесткостью k = 500 Н/м. В шар попадает пуля массой т=10 г, летящая со ско­ростью и=300 м/с, и застревает в нем. Пренебрегая пе­ремещением шара во время удара и сопротивлением воз­духа, определить амплитуду А и период Т колебаний шара.

180.Шарик массой т=60 г колеблется с периодом 7=2 с. В начальный момент времени смещение шарика Хо=4,0 см и он обладает энергией £=0,02 Дж. Записать уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением вре­мени.

2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Основные формулы

Количество вещества* тела (системы)

v = N/Na,

где N — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); Na—по­стоянная Авогадро (N_A= 6,02-10²³ моль^-1). Молярная масса вещества

М = m/v,

где щ — масса однородного тела (системы); v — коли­чество вещества этого тела.

Относительная молекулярная масса вещества М,=2 п-Л_г,и

где щ — число атомов i-го химического элемента, входя­щих в состав молекулы данного вещества; A_r,i — относи­тельная атомная масса этого элемента. Относительные

* Количество вещества — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), содержащихся в теле или системе. Количество вещества выражается в молях. Моль равен количеству вещества си­стемы, содержащей столько же структурных элементов, сколько со­держится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг.

 

атомные массы приводятсяв таблице Д. И. Менделеева. См.также табл. 14Приложения.

Связь молярной массы М с относительной молекуляр­ной массой вещества

М = M_rk,

где /е= 10~³ кг/моль.

Количество вещества смеси газов

v = v_i + v₂+ ... +v_n= N_i/N_A+N₂/N_A+ ... +N„/N_A, или

m,\ , т₂ , , m„

^v Щ"т~ м₂ "+" •■• "+" м_п '

где vj, Ni, mi, Mi — соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i-ro компонента смеси.

Уравнение Менделеева — Клапейрона (уравнение со­стояния идеального газа)

pV=-^RT=vRT,

где т — масса газа, М — молярная масса газа, R — мо­лярная газовая постоянная, v — количество вещества, Т — термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными слу­чаями уравнения Менделеева — Клапейрона для изопро-цессов:

а) закон Бойля — Мариотта (изотермический процесс:
r=const, m=const)

pV = const,

или для двух состояний газа

P\V\ = P2V2;

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: р = const,
m=const)

— = const, или для двух состояний

Л = Л-г, п '

в) закон Шарля (изохорный процесс: /=const, /n=const)

-у= const,

или для двух состоянии

Pi Рг .

,. J, Г₂ '

г) объединенный газовый закон (m=const) —г- = const, или ~— = —•=—,

I I 1 I 2

где piVi, T\—давление, объем и температура газа в начальном состоянии; р₂, V2, T₂ — те же величины в ко­нечном состоянии.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,

p = pi-fp₂+ ... +р„,

где pi — парциальные давления компонентов смеси; п — число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газов

дд mi+m₂+- +m„

Vl +V2+ ... +V„

m,
где m)—масса г-го компонента смеси; Vi = —------------------ коли­
чество вещества i-ro компонента смеси; п — число ком­
понентов смеси.

Массовая доля i-ro компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

mi

Wi = ,

m

где m — масса смеси. Концентрация молекул

V М

_{n =} 4r= ^NfP

где N — число молекул, содержащихся в данной системе; р — плотность вещества; V — объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агре­гатного состояния вещества.

 

4/

Основное уравнение кинетической теории газов

Р= ²/з« (&п) ,

где (е„> — средняя кинетическая энергия поступатель­ного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного дви­жения молекулы

<е„>=³/2*Г,

где k — постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы

<_ei> = -i-fe7\

где i — число степеней свободы молекулы.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

р = nkT. Скорости молекул:

Внутренняя энергия идеального газа Первое начало термодинамики

где Q — теплота, сообщенная системе (газу); Д£/ — из­менение внутренней энергии системы; А — работа, совер­шенная системой против внешних сил. Работа расширения газа:

v₂

А— \ р AV в общем случае;

А = p(V2 — Vi) при изобарном процессе; А = -Ј-RT\n-rf- при изотермическом процессе;

М\ V |

 

V

olt / орт
---- =~у —-------- средняя квадратичная;

---- = V —м------- средняя арифметическая;

V

2&7* / 2RT
---- ⁼ V ~м------- наиболее вероятная,

где т\ — масса одной молекулы. Относительная скорость молекулы

и = v/v_B,

где v — скорость данной молекулы.

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (су) и постоянном давлении (с_р)

при адиабатном процессе, где y = c_p/cv—показатель адиабаты.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры иде­ального газа при адиабатном процессе:

 

pV = const,	г2 г,	-(	V*)	-i
Р2 / УАТ р. Ч Vj •	г,	-(■	ЈlVV" pJ	-D/Y
Термический КПД цикла
и =	<?.-	Q2

 

( + 2 R

с„ =

М '

i R ^Cw==-2~W'

Связь между удельной с и молярной С теплоемкос-тями

с = С/М, С = сМ.

Уравнение Майера

Ср — Су

где Qi — теплота, полученная рабочим телом от тепло-отдатчика; Q₂ — теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

Термический КПД цикла Карно

т,-Т2

Q,-Q₂

Q.

^гДе Г( и 7*2 — термодинамические температуры теплоот-Датчика и теплоприемника.

 

_Л£_

F I

<х =

Коэффициент поверхностного натяжения

или а-

где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур /, ограничивающий поверхность жидкости;] А£ — изменение свободной энергии поверхностной плен ки жидкости, связанное/с изменением площади AS по] верхности этой пленки.

Формула Лапласа, выражающая давление р, созда ваемое сферической поверхностью жидкости:

2а

где R — радиус сферической поверхности.

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

h =

2а cos9

pgtf '

где 8 — краевой угол (0 = 0 при полном смачивании сте нок трубки жидкостью; 0 = я при полном несмачивании) R — радиус канала трубки; р — плотность жидкости g — ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими и] параллельными друг другу плоскостями

, 2acos8

где d — расстояние между плоскостями.

Примеры решения задач

Пример 1.Определить для серной кислоты: 1) othochJтельную молекулярную массу М_г\ 2) молярную массу

Решение. 1. Относительная молекулярная MaccJ вещества равна сумме относительных атомных масс все| элементов, атомы которых входят в состав молекулы даь ного вещества, и определяется по формуле

M_r=2 titAr.i,

где tii — число атомов г-го элемента, входящих в моле кулу; А_г, i — относительная атомная масса i-ro элемента Химическая формула серной кислоты имеет ви| H2SO4. Так как в состав молекулы серной кислоты входя атомы трех элементов, то стоящая в правой части равен

ства (1) сумма будет состоять из трех слагаемых и эта формула примет вид

M_r = niAr, 1+ пчАг, ₂ + п₃А_г,з. (2)

Из формулы серной кислоты далее следует, что /ii=2 (два атома водорода), п₂=1 (один атом серы) и м₃=4 (четыре атома кислорода).

Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода найдем в таблице Д. И. Менделеева или в табл. 14 Приложения:

Л_г,,= 1, Л_г,₂ = 32, Л_г,з=16.

Подставив значения /г, и A_r,i в формулу (2), найдем относительную молекулярную массу серной кислоты:

Л*, —2-1-f 1-32 + 4-16 = 98.

2. Зная относительную молекулярную массу М_г, най­дем молярную массу серной кислоты по формуле

М = M_rk, (3)

где /г=10~~³ кг/моль.

Подставив в (3) значения величин, получим

М = 98-1СГ³ кг/моль.

Пример 2.Определить молярную массу М смеси кис­лорода массой гп\ = 25 г и азота массой тг=75 г.

Решение. Молярная масса смеси М есть отноше­ние массы смеси т к количеству вещества смеси v:

M = m/v. (1)

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:

т = гп\ -\-ni2-

Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов:

v = v, + v₂=~+_1?r.Подставив в формулу (1) выражения т и v, получим

(2)

М =

mi/Mi + ГП2/М2

Применив метод, использованный в примере 1, найдем молярные массы кислорода Mi и азота Мг:

М, = 32-1(Г³ кг/моль; М₂ = 28-1(Г³ кг/моль.

 

Подставим значения величии в (2) и произведем вы-| числения:

_Х/| 25-Ю^-3+ 75-10"³___________ ,

^М - 25-10-³/(32- 10-^э) + 75-10-7(28- 1<Г³) ^КГ/^М0ЛЬ ~

= 28,9.10^_3 кг/моль.

Пример 3. Определить число N молекул, содержащих-! ся в объеме У=1 мм³ воды, и массу т\ молекулы воды.; Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, i соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d мо-1 лекул.

Решение. Число N молекул, содержащихся в не-] которой системе массой т, равно произведению постоян­ной Авогадро Na на количество вещества v:

N = vjVa.

Так как v=m/M, где М — молярная масса, то iV=]

= ^m ..^А . Выразив в этой формуле массу как произведение]

плотности на объем V, получим

N = _PVNa/M.

Произведем вычисления, учитывая, что М=18Х X Ю^-3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

N^ IJf'/o-T -6,02.10²³ молекул = 3,34-10¹⁹ молекул.

Массу т\ одной молекулы можно найти по формуле!
т_х = М/Ы_А. (1)

Подставив в (1) значения М и Na, найдем массу моле-] кулы воды:

"^I'=w^Kr=2-"^,ir26Kr-

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу,] то можно считать, что на каждую молекулу приходится] объем (кубическая ячейка) Vi=d³, где d — диаметр мо­лекулы. Отсюда

d = W7 . (2)1

Объем Vi найдем, разделив молярный объем V_m на число молекул в моле, т. е. на Na:

y, = V_m/tf_A. (J

Подставим выражение (3) в (2):

d = -^V_m/N_A, где V_m=M/p. Тогда

d = \jM/(_PN_A). (4)

Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:

/ [^1 ) ^1/з_/ _ 1 кг/моль 1 ^7з_ .

I [p][^a]J I 1кг/мМ моль"¹) ~ ^М'

Произведем вычисления:

d=-yj з¹⁸'¹⁰"³,, м = 3,1Ы0-" м = 311 пм. V 10³-6,02-10²³

Пример 4. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением pi= 1 МПа и при температуре 7^1 = 300 К. После того как из баллона было взято т=10г гелия, температура в баллоне понизилась до Г₂=290К. Опре­делить давление р₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева—Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

p₂V=^-RT₂, (1)

где т₂ — масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М — молярная масса гелия; R — молярная газовая по­стоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление:

р₂= m₂RT₂/{MV). (2)

Массу т₂ гелия выразим через массу т,\, соответству­ющую начальному состоянию, и массу т гелия, взятого из баллона:

т₂=т₁—т. (3)

Массу т\ гелия найдем также из уравнения Менде­леева — Клапейрона, применив его к начальному со­стоянию:

m\ = M_P\V/(RT{). (4)

Подставив выражение массы т\ в (3), а затем выра­жение т₂ в (2), найдем

RT2 MV

/ MpiV \

или

(5

Р2 = -

■Р\

т RT₂ М V

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых (Т₂/Т\) —безразмерный, а второй — давле­ние. Проверим второе слагаемое:

■X

[ш] [R] [Т] _ 1 кг1 Дж/(моль-К)-1К _ 1 кг-1 м

1 кг

[М] [V] 1 кг/моль 1 м³

1 Н-м

1 Н

= 1 Па.

_х_ 1Дж-1К 1 Дж

1м2

1 MJ

■ 1 моль-1 К

Паскаль является единицей давления. Произведе вычисления по формуле (5), учитывая, что М-= 4-10~³ кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

ю-

290 300

:,31

ч

•106

Ра

.. 290 ю : 0,364 МПа

4-10"

>) Па = 3,64-10⁵ Па =

Пример 5.Баллон содержит mi = 80 г кислорода и| /П2 = 320 г аргона. Давление смеси р= 1 МПа, температу­ра 7 = 300 К- Принимая данные газы за идеальные,! определить объем V баллона.

Решение. По закону Дальтона, давление смеси! равно сумме парциальных давлений газов, входящих в| состав смеси. По уравнению Менделеева — Клапейрона,! парциальные давления р\ кислорода и р₂ аргона выра-1 жаются формулами

p, = m,/?7y(M,V), р₂ = т₂/?Г/(М₂У).

Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси! газов

RT V '

. /mi . тЛ

_P = _Pi+_P2, ИЛИ _р={—- + —)

откуда объем баллона

у / т\ . m₂\ RT

(01

Произведем вычисления, учитывая, что Mi = 32X X 10~³ кг/моль, М₂ = 40-10~³ кг/моль (см. табл. 14 При­ложения) :

у₌₌(_2а_₊-^) «К»-зоо _м³ = 0,0262 м³ = 26,2 л.

V 32-10-^{J т} 40-10"³/ 10⁶

Пример 6.Найти среднюю кинетическую энергию <е_вр) вращательного движения одной молекулы кислоро­да при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию Е_к вращательного движения всех молекул кислорода массой т = 4 г.

Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия (ei) =

= у &7\ где k — постоянная Больцмана; Т — термодина­мическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислоро­да — двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода

<е._р>=2--1-М\ (1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

£_к=<е_вр>ЛГ. (2)

Число всех молекул газа

N=N_Av, (3)

где Na — постоянная Авогадро; v — количество веще­ства.

Если учесть, что количество вещества v=m/M, где m — масса газа; М — молярная масса газа, то формула (3) примет вид

Подставив выражение N в формулу (2), получаем

£_К=Л/_Ат<е_вр>/М. (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода М = 32- Ю^-3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

<е_вр> = /г7^,= 1,38-10-²³-350Дж = 4,83-10-²¹ Дж; £к=6,02-10²³- ⁴"'°1³₃-⁴>83-10~²' Дж = 364Дж.

 

Пример 7.Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cv и при постоянном давлении с_р неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

^Ср~ 2 М' (²)

где г — число степеней свободы молекулы газа; М — мо­лярная масса. Для неона (одноатомный газ) /=3 и М= 20-Ю^-3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения). Произведем вычисления:

3 8,31

Cv =

- ₎₀^Дж/(кг.К) = 6,24.10² Дж/(кг.К);

^с"^{= 3}t² ₂₀⁸'ш-з Дж/(кг-К) = 1,04-10³ Дж/(кг-К).

Для водорода (двухатомный газ) 1=5 и М = = 2-10~³ кг/моль. Тогда

^C*=TTW? Д^ж/(кг.К) = 1,04.10⁴ Дж/(кг.К); ^{Ср= 5}t² ₂⁸io-³ Д^ж/(^кг-К) = 1,46.10⁴ Дж/(кг.К).

Пример 8.Вычислить удельные теплоемкости c_v и с_р смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют да, = 80% и uz>₂ = 20%. Значения удельных теплоемкостеи газов взять из предыдущего примера.

Решение. Удельную теплоемкость cv смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на AT, выразим двумя способами:

Q = Cv(mi + m₂)A7', (1)

Q = (cy,imi-_r-cy,2/n₂)A7\ (2)

где Cv,\ — удельная теплоемкость неона; Cv,2 — удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе

части полученного равенства на AT, получим с\{т\-\-Jt-m2) = cv,itni + cv,2tn2. Отсюда

П%2

Cv=Cv,\--------- г------ И С

V.2-

mi + m₂ ' mi -\- m.2 '

или

Cv=C_V,\W\ +Су,2Ш₂,

/П| тг
где W\=--------- :----- И 102 =------ г---- .

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

Cp=C_p,iW\ + C_P,2W2-

Произведем вычисления: c_v= (6,24• 10²• 0,8 + 1,04• 10⁴• 0,2) Дж/ (кг• К) =

= 2,58-10³ Дж/(кг-К) =2,58 кДж/(кг-К); с_р = (1,04-10³-0,8+1,46-10⁴-0,2) Дж/(кг-К) =

= 3,75-10³ Дж/(кг-К)=3,75 кДж/(кг-К).

Пример 9.Кислород массой т = 2кг занимает объем V, = 1 м³ и находится под давлением р1 = 0,2МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема у₂ = 3м, а затем при постоянном объеме до давления р₃ = 0,5МПа. Найти изменение AU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, передан­ную газу. Построить график процесса.

Решение. Изменение внутренней энергии газа

AU = c_vmAT=±-^_rmAT; (1)

где i — число степеней свободы молекул газа (для двух­атомных молекул кислорода г"=5); АТ=Тз—Т\ — раз­ность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из
уравнения Менделеева — Клапейрона pV= , откуда

T=pVM/(mR).

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

л— ^т' ¹ MRIS.T '

 

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме] равна нулю:

А₂ = 0.

Следовательно, полная работа, совершаемая газом!

А = А₁+А₂ = А₁.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q1 переданная газу, равна сумме изменения внутренней! энергии AU и работы А:

Q = AU + A.

2-105-1-32-10-г 2-8,31 2-105-3-32-1СГ3

Произведем вычисления, учтя, что для кислорода! М = 32-10~³ кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

Т2=-

2-8,31 5- 105-3-32-1(Г3

К = 385 К; К = 1155 К;

7-3 =

К = 2887 К;

8,31-2.(1155 — 385)

2-8,31

Дж = 0,400-10⁶ Дж = 0,4 МДж;

32-10"'

Л = Л, = 0,4 МДж; 5 8,31-2(2887-385)

AU-

Дж = 3,24-10^ь Дж=3,24 МДж;

32-10-

Q = (3,24+ 0,4) МДж = 3,64 МДж.

соотношением

или -=-=-

11

Г₂₌/ УЛ Г, \ У₂)

где V — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме; ti\ = V₂/V\.

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

7-₂= Г,/лП-.

Работа А\ газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

л₁₌₁,-^Су<г,--г_г)-~4-«(г,-Ы

где Cv — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа А₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

где п₂ = V₂/Vz.

г К.

Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа 7=1.4, г = 5 и М = 2-10^_3 кг/моль:

К =

Т₂ =

Так как 5^0,4=1,91 (находится логарифмированием),

зоо

то

1,91

К=157К;

 

*-V

График процесса приведен на рис. 7.

Пример 10.В цилиндре под поршнем находится водо­род массой т = 0,02 кг при температуре 7*1 = 300

Водород сначала расширился адиа-батно, увеличив свой объем в щ = 5 раз, а затем был сжат изотер­мически, причем объем газа умень­шился в п-i = 5 раз. Найти темпера­туру в конце адиабатного расшире-¹ ния и работу, совершаемую газом] при этих процессах. Изобразить] процесс графически.

Решение. Температуры и объ­
емы газа, совершающего адиабат-]
Рис. 7 ный процесс, связаны между собой]

 

2-Ю"3-2 0,02

, = °f²;5;_:f'f (300-157) Дж = 29,8 кДж;

—21 кДж.

А2 = -

_т-8,ЗЫ57 1п+Дж =

⁶ о

2-10

Знак минус показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом вне­шними силами.

График процесса приве­ден на рис. 8.

Рис. 8

Пример11. Тепловая ма­шина работает по обратимо­му циклу Карно. Температу­ра теплоотдатчика Г, = = 500 К. Определить тер-

 

Г

мический КПД г\ цикла и температуру Г₂ теплоприем ника тепловой машины, если за счет каждого кило джоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машин! совершает работу А — 350 Дж.

Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от тепло! отдатчика, превращается в механическую работу. Терми! ческий КПД выражается формулой

r\ = A/Q_u.

где Qi — теплота, полученная от теплоотдатчика; А работа, совершенная рабочим телом тепловой машины

Зная КПД цикла, можно по формуле t) = (jTi — Г₂)/Г| определить температуру охладителя Т₂:

Г₂=Г,(1—т,).

Произведем вычисления:

т| = 350/1000 =0,35; Т₂ = 500( 1 - 0,35) К = 325 К

Пример 12. Найти добавочное давление внутри мыль ного пузыря диаметром й=10см. Какую работу нужнс совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Решение. Пленка мыльного пузыря имеет два сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

Р = 2 —,

где г — радиус пузыря. Так как r — d/2, то

p = 8a/d.

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на AS, выражается формулой

A = aAS, или A = o(S — So).

В данном случае S — общая площадь двух сферически! поверхностей пленки мыльного пузыря; So — общай площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивав шей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрег гая So, получаем

A = aS = 2nd²a. 60

Произведем вычисления:

Па = 3,2 Па; -3 Дж =

8-40- Ю-³

0,1 -3 Дж = 2,5-10

2,5 мДж.

Л = 2.3,14-(0,1)²-40-10

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить массу m атома азота. [2,33- Ю^-26 кг]

2. Плотность газа р при давлении р = 96 кПа и темпе­ратуре * = 0°С равна 1,35 г/л. Найти молярную массу М газа. [32-10~³ кг/моль]

3. Определить давления р\ и р₂ газа, содержащего #= Ю⁹ молекул и имеющего объем V= 1 см³, при темпе­ратурах Г, = ЗК и r₂=1000K. [41,4 нПа; 13,8 мкПа]

4. При температуре /=35°С и давлении р = 708 кПа плотность некоторого газа р=12,2кг/м³. Определить относительную молекулярную массу М_г газа. [44,1]

5. Какой объем V занимает смесь азота массой mi = = 1 кг и гелия массой т₂=1 кг при нормальных услови­ях? [6,4 м³]

6. В баллоне вместимостью У=15л находится смесь, содержащая mi = 10 г водорода, т₂ = 54 г водяного пара и тз = 60г оксида углерода. Температура смеси /=27°. Определить давление. [1,69 МПа]

7. Найти полную кинетическую энергию, а также кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы аммиака ЫНз при температуре t=27°C. [1,24-Ю^-20 Дж; 6,2-10~²¹ Дж]

8. Определить удельные теплоемкости Cv и с_р газо­образного оксида углерода СО. [743 Дж/(кг-К); 1,04 кДж/(кг-К)1

9. Смесь газа состоит из кислорода 0₂ с массовой долей ш>1 = 85% и озона Оз с массовой долей ш₂= 15%. Определить удельные теплоемкости cv и с_р этой газовой смеси. [629 Дж/(кг-К); 877 Дж/(кг-К)]

 

10. Газовая смесь состоит из азота массой mi = Зкг и водяного пара массой т₂=1 кг. Принимая эти газы за идеальные, определить удельные теплоемкости cv и с_р газовой смеси. [902 Дж/(кг-К); 1,24 кДж/(кг-К)]

11. Молекула газа состоит из двух атомов; разность удельных теплоемкостеи газа при постоянном давлении и постоянном объеме равна 260 Дж/(кг>К). Найти мо­лярную массу газа и его удельные теплоемкости Cv и с_р. 132- Ю-³ кг/моль; 650 Дж/(кг-К); 910 Дж/(кг-К)]

дельными пластинками с площадью поверхности 5 = = 100 см² каждая, расположенными на расстоянии / = = 20мкм друг от друга, заполнено водой. Определить силу F, прижимающую пластинки друг к другу. Считать мениск вогнутым с диаметром d, равным расстоянию между пластинками.

276.Глицерин поднялся в капиллярной трубке диа­метром канала d=l мм на высоту Л = 20 мм. Определить поверхностное натяжение а глицерина. Считать смачива­ние полным.

277. В воду опущена на очень малую глубину стек­лянная трубка с диаметром канала d= 1 мм. Определить массу т воды, вошедшей в трубку.

278.На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря больше нормального атмосферного давления р₀, если диаметр пузыря d = 5 мм?

279.Воздушный пузырек диаметром d = 2,2 мкм нахо­дится в воде у самой ее поверхности. Определить плот­ность р воздуха в пузырьке, если воздух над поверх­ностью воды находится при нормальных условиях.

280. Две капли ртути радиусом г=1,2мм каждая слились в одну большую каплю. Определить энергию Е, которая выделится при этом слиянии. Считать процесс изотермическим.