Физические основы классической механики

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x

x=f(t),

где f(t) – некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось x

<V_x>= .

Средняя путевая скорость

<V>= ,

где DS - путь, пройденный точкой за интервал времени Dt.

Путь DS в отличие от разности координат DХ=Х₂–Х₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. DS³0.

Проекция мгновенной скорости на ось x

V_x = .

Проекция среднего ускорения на ось x

.

Проекция мгновенного ускорения на ось x

.

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

j=f(t), r=R=const.

Модуль угловой скорости

.

Модуль углового ускорения

.

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности

V=wR, a_τ =eR , a_n=w²R,

где V- модуль линейной скорости;

a_τ и a_n - модули тангенциального и нормального ускорений;

w - модуль угловой скорости;

e - модуль углового ускорения;

R- радиус окружности.

Модуль полного ускорения

или .

Угол между полным а и нормальным а_n ускорениями

a=arc cos(а_n/а).

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

F=-kx,

где k - коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость);

х - абсолютная деформация;

б) сила тяжести

P=mg;

в) сила гравитационного взаимодействия

F=G

где G -гравитационная постоянная;

m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел;

r - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки).

В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность гравитационного поля

;

г) сила трения (скольжения) F=f N,

где f- коэффициент трения;

N - сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

или для двух тел (i=2)

m₁V₁ +m₂V₂= m₁u₁+m₂u₂,

где V₁и V₂- скорости тел в момент времени, принятый за начальный;

u₁ и u₂- скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

= или =

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

,

где k - жесткость пружины;

x - абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

,

где G - гравитационная постоянная;

m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел;

r₁ - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести

где g - ускорение свободного падения;

h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h R, где R, радиус Земли).

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

X=A cos(wt+j),

где x - смещение;

А - амплитуда колебаний;

- угловая или циклическая частота;

j - начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания

V=-Awsin(wt+j); а= -Аw²cos(wt+j).

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

;

б) начальная фаза результирующего колебания

j=arctg .

Траектория точки, участвующей в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях,

х=A₁coswt; у=A₂cos(wt+j):

a) y = x, если разность фаз j=0;

б) y= x, если разность фаз j=±p;

в) , если разность фаз j=± .

Уравнение плоской бегущей волны

y=Acosw (t- ),

где y - смещение любой из точек среды с координатой х в момент t;

V- скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз Dj колебаний с расстоянием Dx между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний

Dj= Dx,

где l - длина волны.

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью

.

Второй закон Ньютона

,

где F- результирующая сила, действующая на материальную точку.

Закон сохранения механической энергии

.

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки

.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси

M_z=I_ze,

где М_z - результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело;

e- угловое ускорение;

I_z - момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню

I_z = ;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра)

I_z=mR²,

где R - радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска

I_z= ².

Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z

L_z=I_zw,

где w - угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z

I_zw=const,

где I_z - момент инерции системы тел относительно оси z;

w - угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

T= _zw², или Т= /(2I_z).