Первообразная. Неопределённый интеграл
Первообразная.Непрерывная функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на промежутке X , если для каждого
F’ ( x ) = f ( x ).
П р и м е р . Функция F ( x ) = x 3 является первообразной для функции f ( x ) = 3x 2 на интервале ( - , + ) , так как
F’ ( x ) = ( x 3)’ = 3x 2 = f ( x ) для всех x ( - , + ) . Легко проверить, что функция x 3 + 13 имеет ту же производную 3x 2, поэтому x 3 + 13 также является первообразной для функции 3x 2 для всех x ( - , + ) . Ясно, что вместо 13 можно взять любую постоянную.
Таким образом, задача нахождения первообразной имеет бесчисленное множество решений. Этот факт нашёл отражение в определении неопределённого интеграла. Неопределённый интеграл функции f ( x ) на промежутке X есть множество всех её первообразных. Это записывается в виде: где C – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования. Основные свойства неопределённого интеграла Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то Т.е. постоянную можно выносить за знак интеграла. Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X , то Т.е. интеграл суммы равен сумме интегралов. Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:
Т.е. производная от интеграла равна подынтегральной функции.
Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то: Т.е. интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования. Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница
Рассмотрим непрерывную функцию y = f ( x ), заданную на отрезке [ a, b ] и сохраняющую на этом отрезке свой знак ( рис.8 ).
Если f – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [a, b], и F – её первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a, b], т.e. Рассмотрим функцию S ( x ), заданную на отрезке [ a, b ]. Если a<x b, то S ( x ) – площадь части криволинейной трапеции, лежащей слева от вертикальной прямой, проходящей через точку ( x, 0 ). Отметим, что если x = a , то S ( a ) = 0, а S ( b ) = S ( S – площадь всей криволинейной трапеции). Можно доказать, что т.e. S ( x ) – первообразная для f ( x ). Отсюда, согласно основному свойству первообразных, для всех x [ a, b ] имеем:
S ( x ) = F ( x ) + C ,
где C – некоторая постоянная, F – одна из первообразных функции f . Чтобы найти C , подставим x = a :
F ( a ) + C = S ( a ) = 0,отсюда, C = -F ( a ) и S ( x ) = F ( x ) - F ( a ). Так как площадь криволинейной трапеции равна S ( b ) , то подставляя x = b , получим: S = S ( b ) = F ( b ) - F ( a ).
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (812)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |