Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши

ЗАДАНИЕ 1

(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

Решение:

(а)Построим график функции и ее периодического продолжения на всю ось (график выделен на рисунке жирной линией):

Имеем период . Тогда ряд Фурье имеет вид

График совпадает с графиком в точках непрерывности, а в точках разрыва :

Коэффициенты Фурье находим по формулам

Получаем

и, учитывая, что , находим

Итак,

Находим

Итак, .

Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье (*), окончательно имеем:

(б)Разложим функцию , по синусам кратных дуг в ряд Фурье. Продолжим нечетным образом на отрезок , а потом периодически продолжим на всю ось:

Имеем период . Тогда ряд Фурье по синусам имеет вид

причем функция совпадает с продолженной функцией в точках непрерывности, а в точках разрыва имеем :

Находим :

Итак, .

Окончательно имеем

(в)Теперь разложим функцию , по косинусам кратных дуг в ряд Фурье. Продолжим эту функцию четным образом на отрезок , а потом периодически продолжим на всю ось, в качестве периода взяв :

Поскольку продолженная функция непрерывна на всей числовой прямой, то сумма ряда ,а сам ряд имеет вид:

Находим коэффициенты :

Итак,

Ряд Фурье имеет вид

ЗАДАНИЕ 2

Найти общее решение и решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям для квазилинейного уравнения первого порядка

Решение:

Для решения квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка относительно функции запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

Решаем эту систему сначала для одной пары, а потом для другой пары дифференциальных уравнений.

Рассмотрим другую пару

из полученного решения первой пары выражаем , а именно , и подставляем в это уравнение

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид , где - произвольная функция двух аргументов.

Имеем и общее решение .

Поскольку функция входит в один из аргументов функции , то можно выразить этот аргумент через другой с помощью произвольной функции одной переменной :

Это и есть общее решение.

Найдем вид функции из дополнительных условий . Тогда , то есть . Имеем частное решение или

Проверка:

Функция задана неявно.

.

Тогда найдем

Подставим в исходное уравнение и получим тождество:

ЗАДАНИЕ 3

Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.

;

Решение:

Исходное уравнение представляет собой линейное однородное уравнение в частных производных второго порядка

где - искомая функция, .

Определяем тип уравнения:

то есть это уравнение гиперболического типа. Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

Получаем две характеристики

Переходим к новым переменным . Тогда

Подставим в исходное уравнение:

а значит, по условию

Получаем каноническое уравнение для гиперболического типа .

Решаем это уравнение.

где - произвольные функции. Заменяем и получаем общее решение .

Теперь решаем задачу Коши, то есть находим функции из начальных условий .

Решаем систему относительно .

Подставим в общее решение:

Получаем частное решение задачи Коши

Проверка:

Найденная функция удовлетворяет условию задачи Коши:

т.е.

ЗАДАНИЕ 4

Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения:

 

Решение:

Исходное уравнение является уравнением теплопроводности. Решаем задачу с нулевыми краевыми условиями и начальными условиями (смешанная задача), для чего используем метод разделения переменных (метод Фурье).

Ищем ненулевое решение в виде

Разделяем переменные . Так как каждая дробь зависит только от одной переменной, то их равенство означает, что они постоянные:

Получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Сначала решаем второе уравнение, которое должно удовлетворять краевым условиям так как

.

Это задача Штурма-Лиувилля: найти решение , удовлетворяющее уравнению и нулевым условиям

Сначала считаем, что . Тогда

.

Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля . Находим собственные функции так как Поскольку - произвольная постоянная, возьмем

Если взять , тогда

Так как то

Итак, получаем решение задачи Штурма-Лиувилля:

Для каждого значения решаем первое уравнение системы

Общее решение для первого уравнения имеет вид

где - произвольные постоянные. Таким образом, получено решение

для

Будем искать общее решение исходного уравнения в виде ряда:

Потребуем, чтобы оно удовлетворяло начальным условиям

Получаем

Соотношение представляет разложение функции в ряд Фурье по косинусам с периодом .

Ищем коэффициенты Фурье :

Итак, найдены коэффициенты Фурье

Окончательно получаем решение смешанной задачи:

ЗАДАНИЕ 5

Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения (уравнения теплопроводности):

Решение:

Исходное уравнение решаем методом разделения переменных (метод Фурье). Ищем ненулевое решение в виде

Разделяем переменные

Так как каждая дробь зависит только от одной переменной, то их равенство означает, что они – постоянные (обозначим ее ):

Получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Сначала решаем второе уравнение (с учетом преобразованного на языке граничного условия):

Получили задачу Штурма-Лиувилля.

Используем краевые условия для определения :

Так как (иначе функция станет тождественно равна нулю), то , а значит , и, следовательно, собственные значения задачи Штурма-Лиувилля: . Коэффициент является постоянной ненулевой величиной, т.е. имеем права принять ее за 1.

Находим собственные функции

Решаем второе уравнение:

где – произвольные постоянные.

Итак, функции удовлетворяют краевым условиям для .

Ищем общее решение в виде ряда

Потребуем выполнение начального условия

Полученное соотношение есть разложение функции в ряд Фурье по синусам. Ищем коэффициенты Фурье этого разложения при

Используя свойства ортогональности тригонометрической системы, получим, что , если , а если , то

Таким образом, частное решение получаем из бесконечного ряда, в котором все слагаемые равны нулю, кроме слагаемого с номером и коэффициентом :

.

ВАРИАНТ 1

ЗАДАНИЕ 1

(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

ЗАДАНИЕ 2

Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

ЗАДАНИЕ 3

Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.

;

ЗАДАНИЕ 4

Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.

ЗАДАНИЕ 5

Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения

 

ВАРИАНТ 2

ЗАДАНИЕ 1

(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

ЗАДАНИЕ 2

Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

;

ЗАДАНИЕ 3

Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.

;

ЗАДАНИЕ 4

Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.

ЗАДАНИЕ 5

Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.

 

ВАРИАНТ 3

ЗАДАНИЕ 1

(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

ЗАДАНИЕ 2

Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

;

ЗАДАНИЕ 3

Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.

;

ЗАДАНИЕ 4

Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.

ЗАДАНИЕ 5

Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.

 

ВАРИАНТ 4

ЗАДАНИЕ 1

(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

ЗАДАНИЕ 2

Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

;

ЗАДАНИЕ 3

Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.

;

ЗАДАНИЕ 4

Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.

ЗАДАНИЕ 5

Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.

 

ВАРИАНТ 5

ЗАДАНИЕ 1

(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

ЗАДАНИЕ 2

Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

;

ЗАДАНИЕ 3

Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.

;

ЗАДАНИЕ 4

Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.

ЗАДАНИЕ 5

Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.

 

ВАРИАНТ 6

ЗАДАНИЕ 1

(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

ЗАДАНИЕ 2

Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

;

ЗАДАНИЕ 3

Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.

;

ЗАДАНИЕ 4

Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.

ЗАДАНИЕ 5

Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.

 

ВАРИАНТ 7

ЗАДАНИЕ 1

(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

ЗАДАНИЕ 2

Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

;

ЗАДАНИЕ 3

Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.

;

ЗАДАНИЕ 4

Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.

ЗАДАНИЕ 5

Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.

 

ВАРИАНТ 8

ЗАДАНИЕ 1

(а) Разложить функцию в ряд Фурье на указанном промежутке. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(б) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

(в) Разложить функцию в ряд Фурье по кратных дуг на промежутке от 0 до правой границы указанного промежутка. Нарисовать график функции, определяющей сумму ряда.

ЗАДАНИЕ 2

Найти общее решение или решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

;

ЗАДАНИЕ 3

Методом характеристик привести уравнение к каноническому виду и найти решение задачи Коши.

;

ЗАДАНИЕ 4

Методом Фурье решить смешанную задачу для гиперболического уравнения.

ЗАДАНИЕ 5

Методом Фурье решить смешанную задачу для параболического уравнения.