Наращение и дисконтирование

 

1. Определить сумму накопленного долга и проценты по ссуде к концу 2-го года, если ссуда дается в размере 5 млн. руб. при простой процентной ставке 15% годовых.

 

Решение.

S = P (1 + ni) = 5 * (1 + 2 * 0,15) = 6,5 млн. руб.

 

2. Кредитор выдал в долг на 3 года сумму 2 млн. руб. по сложной процентной ставке 10% годовых, оформив вексель. Однако в конце 2-го года он вынужден был учесть этот вексель в банке по простой дисконтной ставке 12% годовых. Определите суммы, которые кредитор мог бы получить в конце срока, в конце 2-го года без учета в банке и реально получил после учета векселя в банке. Определите потери кредитора в связи с учетом векселя.

 

Решение.

S₃ = P (1 + i)ⁿ = 2 (1 + 0,1)³ = 2 х 1,331 = 2,662 млн. руб.

S₂ = P (1 + i)ⁿ = 2 (1 + 0,1)² = 2,42 млн. руб.

P = S (1 – n d) = 2,662 (1 – 1 * 0,12) = 2,34256 млн. руб.

S₂ – Р = 2,42 – 2,34256 = 0,07744 млн. руб.

 

3. Предприятие учитывает в банке 3 векселя, первоначальная сумма долга по каждому из которых равна 100 тыс. руб., сложная процентная ставка 14%, выданные одновременно на срок 4 года. Учет ведется через 2 года 60 дней с момента приобретения по простой дисконтной ставке 15% годовых. Определить сумму, полученную предприятием.

 

Решение.

Так как все векселя выданы одновременно под одну процентную ставку на один и тот же срок, то можно объединить их суммы. Тогда:

S = P (1 + i)ⁿ = (100 + 100 + 100) (1 + 0,14)⁴ = 506,688 тыс. руб.

Учетный период n = 365*4 – (365*2 + 60) = 670 дней = 670/365 = 1,8356 года.

P = S (1 – n d) = 506,688 (1 – 1,8356 * 0,15) = 367,1765 тыс. руб.

 

4. Пусть в банк в течение 4 лет каждый год в конце года вносится рента в размере 10 руб.

Ставка сложных процентов 10% годовых. Определить наращенную сумму в конце 4 года. Определить современную величину ренты.

 

Решение.

Если вносится некая сумма Р под сложные проценты, то S = P (1 + i) ⁿ

У нас платежи идут равными долями через равные промежутки времени. Поэтому можно

рассматривать их как сумму нескольких одинаковых разовых вкладов по R руб. каждый.

Тогда получим:

S₁ = R (1 + i)³ = 10 (1 + 0,1)³ = 10 * 1,331 = 13,31 руб.; (степень 3, т.к. он положен в конце первого года и пролежит 3 года),

S₂ = R (1 + i)² = 12,1 руб.,

S₃ = R (1 + i)¹ = 11 руб.,

S₄ = R (1 + i)⁰ = 10 руб.

Общая величина наращенной суммы:

S = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ = 13,31 + 12,1 + 11 + 10 = 46,41 руб.

Если произвести подстановку выражений для S₁,S₂, S₃, S₄, то получим:

S = R (1 + i)³ + R (1 + i)² + R (1 + i)¹ + R (1 + i)⁰.

Или

S = R (1 + i)^n-1 + R (1 + i)^n-2 + … + R (1 + i)^n-n.

Получилась геометрическая прогрессия, значит, для расчета можно использовать известные формулы.

Воспользуемся формулой для вычисления суммы геометрической прогрессии:

S = R [(1 + i) ⁿ - 1] / i = 10 [(1 + 0,1)⁴ - 1] / 0,1 = 46,41 руб.

Получен тот же самый результат.

Далее определим современную величину ренты на начальный момент.

Для начала выразим ставку дисконтирования d через ставку процента i:

d = i / (1 + i)

Обозначим современную величину буквой А.

Тогда в выражении для дисконтирования потоков платежей A = S (1 - d)ⁿ получим выражение для множителя дисконтирования:

1 - d = 1 - i / (1 + i) = (1 + i)/(1 + i) - i / (1 + i) = (1 + i - i) / (1 + i) = 1 / (1 + i)

После подстановки все выражение примет вид:

А = S (1 / (1 + i))ⁿ . // это же равно S (1/(1 + i)ⁿ) //

Но ведь ранее мы получили S = R [(1 + i)ⁿ - 1] / i,

подставив это выражение, получим в примере геометрическую прогрессию:

А = (R [(1 + i)ⁿ - 1] / i) / (1 + i)ⁿ.

Для подсчета всей суммы современной величины используем формулу суммы геометрической прогрессии. Тогда после преобразования получим:

A = R [1 - (1 + i)^-n] / i - формула для расчета современной величины при аннуитете постнумерандо.

Рассчитаем эту величину для нашего примера: A = 10 [1 - (1 + 0,1)^-4] / 0,1 = 31,7 руб.

То есть сумма 40 руб., которую мы хотим частями вкладывать 4 года, в начальный момент равноценна сумме 31,7 руб.

Проверим это.

Вначале рассмотрим действие наращения и дисконтирования и определим верность применяемых формул.

Допустим, что мы вкладываем 40 руб. в начале 4-летнего срока. Тогда в конце 4-го года получим:

S = P (1 + i)ⁿ = 40 (1 + 0,1)⁴ = 40 * 1, 4641 = 58,564 руб.

Продисконтируем эту величину, приведя ее к началу периода.

В данном случае применим известную общую формулу P = S (1 - d)ⁿ.

Получим:

P = 58,564 (1 - 0,1/(1 + 0,1))⁴ = 40 руб.

Мы приходим к той же величине для начального момента вклада, значит, формулы верны, что доказывается отсутствием потери стоимости.

Тогда, если мы вложим в начале периода 31,7 руб., то в его конце получим:

S = 31,7 * (1 + 0,1)⁴ = 46,41 руб.,

То есть, вложив один раз в начале периода 31,7 руб., мы получим столько же, сколько от вложения 40 руб. по частям, распределенным во времени. Следовательно, современная величина действительно равна 31,7 руб.

 

5. Рассчитать, сколько реально получит работник, если его з/плата составляет 3000 руб.,

выплаты должны идти в конце каждого месяца, но реально их выдадут только в конце 4-го месяца. При этом инфляция составляет 3% в месяц, а месячная банковская ставка по срочному вкладу 4%.

 

Решение.*

1). Величина зарплаты за все 4 месяца в абсолютных значениях должна составить:

3000 * 4 = 12000 руб.

Однако, ввиду существующих экономических процессов, ее современная величина (а порой и покупательная способность) вряд ли будет равна этому значению. Рассмотрим все варианты.

2). Если бы зарплату получали вовремя и клали в банк на депозит, ничего не тратя и не снимая процентов, то полученная сумма в конце 4-го месяца составила бы (случай аннуитета постнумерандо):

S = R [(1 + i) ⁿ - 1] / i ,

S = 3000 ((1 + 0,04)⁴ - 1) / 0,04 = 12739,32 руб.

Но эта конечная сумма теряет стоимость из-за инфляции, поэтому следует продисконтировать ее и найти современную величину для начального момента. При этом за процентную ставку следует принять индекс инфляции и рассчитать ставку дисконтирования исходя из его значения:

Р = S (1 - d)ⁿ = S (1 – i / (1 + i))ⁿ ,

Р = 12739,32 (1 - 0,03/(1 + 0,03)⁴) = 11318,65 руб.

Здесь берется только конечная сумма, а то, как она получена, не имеет значения, поэтому рассчитывается величина Р, а не А.

Значит, современная величина в этом случае составит 11318,65 руб.

Это тот максимум, на который работник может рассчитывать в данных экономических условиях (как видно, даже процентная ставка, несколько превышающая уровень инфляции, не спасает от потерь).

3). Если бы зарплату, получая, сразу тратили, то, принимая в расчет инфляцию, получим:

A = R [1 - (1 + i)^-n] / i ,

A = 3000 (1 - (1 + 0,03) ^-4) / 0,03 = 11151,3 руб.

Здесь имеет место аннуитет, поэтому расчет ведется для А, а не для Р.

Это современная величина заработной платы без учета потери вмененного дохода. Именно ею обычно оперируют, когда говорят о снижении покупательной способности денег.

4). Работник лишен возможности вклада или траты зарплаты, он получит всю сумму в конце 4-го месяца, значит, ее современная величина составит:

Р = S (1 - d)ⁿ ,

Р = 12000 (1 - 0,03/(1 + 0,03))⁴ = 10661,85 руб.

5). Сравним полученные результаты.

а). Если бы работник получал зарплату вовремя и тратил ее сразу, то потерял бы из-за инфляции:

12000 - 11151,3 = 848,7 руб.

Это потеря покупательной способности зарплаты. Однако избежать ее невозможно, т.к. деньги выплачиваются периодически, а не авансом.

б). Потери от того, что работник не клал зарплату на депозит, а сразу тратил, составили бы:

11318,65 – 11151,3 = 167,35 руб.

Эта величина называется вмененным доходом, т.е. тем, что можно было бы иметь, вложив деньги в прибыльное дело, но теряется, так как не вкладывается.

в). Тогда потери от того, что работник получил зарплату лишь в конце 4-го месяца (не имея возможности ни тратить, ни вкладывать), составят сумму потерь величины зарплаты из-за инфляции и вмененного дохода:

11318,65 – 10661,85 = 656,8 руб.

 

* все расчеты ведутся исходя из периодичности в 1 месяц.

 

 

6. Работнику, получившему производственную травму, было предложено два варианта выплаты страховой суммы - по 1000 р. ежемесячно в течение 3 лет или единовременно в размере 30000 р. Определить, что выгоднее для работника, если инфляция составляет 1,5% в месяц, а банковская процентная ставка по срочным вкладам - 25% годовых (сложная ставка, проценты начисляются в конце каждого года на накопленную сумму).

 

Решение.

1). Абсолютная величина суммы всех выплат при ежемесячных выплатах составит 36000 руб. 2). Если класть ежемесячно получаемые суммы на депозит, то получим (т.к. проценты начисляются лишь в конце года):

S = R (1 + i)ⁿ + R (1 + i)^n-1 + R (1 + i)^n-2 + … + R (1 + i)^n-(n+1).

Это аннуитет пренумерандо. Тогда (т.к. годовые суммы составят по 12000 руб.):

S = 12000 (1 + 0,25)³ + 12000 (1 + 0,25)² + 12000 (1 + 0,25)¹ = 57187,5 руб.

Рассчитаем современную величину, учитывая то, что для инфляции дано среднемесячное значение (т.е. за три года надо продисконтировать 36 периодов).

Р = 57187,5 (1 - 0,015 / (1 + 0,015) ) ³⁶ = 33459,82 руб.;

или Р = 57187,5 (1 / (1 + 0,015) ³⁶) = 33459,82 руб.

Это тот максимум, на который работник может рассчитывать в данных экономических условиях, если будет получать деньги ежемесячно.

Кажется, что это лучше, чем получить 30000 руб. Но единовременно полученную сумму работник также может положить на депозит.

2). Если работник получит 30000 руб. единовременно и положит эту сумму на депозит, то:

S = P (1 + i)ⁿ ,

S = 30000 (1 + 0,25) ³ = 58593,75 р.

Таким образом видим, что при вложении денег на депозит второй вариант выгоднее, т.к. принесет 58593,75 руб. вместо 57187,5 руб.

Посмотрим, какова будет её современная величина:

Р = 58593,75 (1 / (1 + 0,015) ³⁶) = 34282,6 руб.

Однако работнику деньги могут понадобиться сразу.

3). Если работник решит получать выплаты ежемесячно и сразу же тратить их:

A = R [1 - (1 + i)^-n] / i

А = 1000 (1 - (1 + 0,015) ^-36 ) / 0,015 = 1000 (1 - 1/1,709139538) / 0,015 = 27660,68 руб.

В этом случае получение 30000 руб. единовременно также будет предпочтительнее.

 

Вывод: работнику целесообразнее всего воспользоваться вторым вариантом выплаты страховой суммы и при возможности положить ее в банк в целях сохранения и приумножения её стоимости.