Раздел 3. КОНТРОЛНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ

 

3.1. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1

 

По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о себестоимости молока и средней продуктивности молока (табл. 3 и 4).

Таблица 3

Себестоимость молока, руб./л

Сельскохозяйственное предприятие	Предпоследняя цифра номера зачетной книжки
	7,5	6,0	5,2	8,3	5,8	6,9	7,8	7,0	5,9	8,0
	6,0	5,2	8,3	5,8	6,9	7,8	7,0	5,9	8,0	7,5
	5,2	8,3	5,8	6,9	7,8	7,0	5,9	8,0	7,5	6,0
	8,3	5,8	6,9	7,8	7,0	5,9	8,0	7,5	6,0	5,2
	5,8	6,9	7,8	7,0	5,9	8,0	7,5	6,0	5,2	8,3
	6,9	7,8	7,0	5,9	8,0	7,5	6,0	5,2	8,3	5,8
	7,8	7,0	5,9	8,0	7,5	6,0	5,2	8,3	5,8	6,9
	7,0	5,9	8,0	7,5	6,0	5,2	8,3	5,8	6,9	7,8
	5,9	8,0	7,5	6,0	5,2	8,3	5,8	6,9	7,8	7,0
	8,0	7,5	6,0	5,2	8,3	5,8	6,9	7,8	7,0	5,9

 

Прогнозное значение средней продуктивности молока:

Прогнозное значение себестоимости молока:

ŷ_р = 2,13 + 0,0245·211,53 = 7,31 руб./л.

 

 

Методические указания к задаче 2

Пример

По 33 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о средних значениях и вариации урожайности зерновых, количестве внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми, а также о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 10).

Таблица 10

Показатель	Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение (σ)	Линейные коэффициенты парной корреляции
Урожайность зерновых, ц/га	у	19,5	8,4	=0,405 =0,33, =0,115
Внесено органических удобрений, ц/га	х1	25,0	3,2
Насыщенность севооборота зерновыми, %	х2		13,0

Требуется:

1.Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности зерновых от количества внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми.

2.Определить линейный коэффициент множественной корреляции.

3.Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при α = 0,05.

4.Рассчитать общий F-критерий Фишера при уровне значимости α = 0,05.

 

показывает, что 93,5 % изменений в уровне себестоимости объясняется различной продуктивностью молока.

5.Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:

Вычисленное t_факт сравним с табличным (критическим) значением t_табл при принятом уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы
ν = n – 2 = 10 – 2 = 8 (приложение 1). Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,31.

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и существенности связи между себестоимостью и продуктивностью молока.

6.Оценим значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение F_факт с табличным F_табл.

Фактическое значение F_факт определяется по формуле:

,

В нашем случае:

Табличное значение F_факт по таблице значений F-критерия Фишера при α = 0,05, k₁ = m = 1 и k₂ = n – m – 1 = 10 – 1 – 1 = 8 (приложение 2) равно 5,32 (m – число параметров при переменной х).

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.

7.Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Рассчитаем прогнозное значение себестоимости молока при среднем росте продуктивности молока на 10 %.

 

Таблица 4

Средняя продуктивность молока, кг

Сельскохозяйственное предприятие	Последняя цифра номера зачетной книжки

 

Требуется:

1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости себестоимости молока от средней продуктивности.

2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.

4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

5. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при α = 0,05.

6. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного анализа с помощью F-критерия Фишера при α = 0,05.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня.

 

Задача 2

 

По сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о количестве предприятий, средних значениях и вариации урожайности зерновых, количестве внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми, а также о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 5, 6 и 7).

 

 

Таблица 5

Количество предприятий

Последняя цифра номера зачетной книжки
Количество предприятий

 

Таблица 6

Урожайность зерновых, количество внесенных удобрений и продолжительность вегетационного периода

Предпоследняя цифра номера зачетной книжки	Урожайность зерновых, ц/га	Внесено органических удобрений, ц/га	Насыщенность севооборота зерновыми, %
Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение
	12,5	5,0		1,5		8,0
	13,5	5,4		1,7		8,5
	15,0	5,8		1,9		9,0
	16,0	6,2		2,1		9,5
	16,5	6,6		2,3		10,0
	17,0	7,0		2,5		10,5
	17,5	7,4		2,7		11,0
	18,5	7,8		2,9		11,5
	21,5	8,2		3,1		12,0
	22,0	8,6		3,3		12,5

 

;

.

Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте средней продуктивности молока на 1% себестоимость молока повышается на 0,69 %.

4.Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитаем коэффициент корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:

,

где – средняя сумма произведения признаков;

и – средние квадратические отклонения по х и у.

Данные для расчета коэффициента корреляции представлены в табл. 9 и в пункте 3 решения. Отсюда:

;

;

;

.

Коэффициент корреляции свидетельствует, что связь между признаками очень тесная и прямая. Коэффициент детерминации

 

 

Уравнение регрессии имеет вид:

 

ŷ_х = 2,13 + 0,0245х.

 

Коэффициент регрессии b = 0,0245 показывает, что при росте средней продуктивности молока на 1 кг себестоимость молока в среднем по данной совокупности хозяйств увеличивается на 2,45 копейки за литр.

2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:

где – ошибка аппроксимации.

Подставляя в уравнение регрессии х, определим теоретические (расчетные) значения ŷ_х (табл. 9). Найдем величину средней ошибки аппроксимации . Для этого заполним две последние графы табл. 9. Отсюда:

.

В среднем расчетные значения себестоимости молока отклоняются от фактических на 3,17%. Качество уравнения регрессии можно оценить как высокое, так как средняя ошибка аппроксимации меньше допустимого предела (8-10%).

3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:

где и – средние значения признаков.

Отсюда:

 

Таблица 7

Линейные коэффициенты парной корреляции

Последняя цифра номера зачетной книжки
	0,33	0,48	0,04
	0,34	0,46	0,05
	0,35	0,44	0,06
	0,36	0,42	0,07
	0,37	0,40	0,08
	0,38	0,38	0,09
	0,39	0,36	0,10
	0,40	0,34	0,11
	0,41	0,32	0,12
	0,42	0,30	0,13

 

Требуется:

1. Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности зерновых от количества внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми.

2. Определить линейный коэффициент множественной корреляции.

3. Рассчитать общий F-критерий Фишера при уровне значимости α = 0,05.

 

3. 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Методические указания к задаче 1

Пример

По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о себестоимости молока и средней продуктивности молока (табл. 8).

Таблица 8

Себестоимость молока, руб./л	7,5	6,0	5,2	8,3	5,8	6,9	7,8	7,0	5,9	8,0
Средняя продук-тивность молока, кг

 

 

Требуется:

1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости себестоимости молока от средней продуктивности.

2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.

4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

5. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при α = 0,05.

6. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного анализа с помощью F-критерия Фишера при α = 0,05.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня.

Решение

 

2.Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

 

ŷ_х = а + bх,

 

где ŷ_х – себестоимость молока, руб./л;

х – средняя продуктивность молока, кг;

а, b – параметры уравнения.

Для определения параметров уравнения а и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнение последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных а и b, и затем каждое уравнение просуммируем:

,

где n – число единиц совокупности.

Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл. 9).

Подставим полученные данные в систему уравнений:

 

 

Таблица 9

 

Сельскохозяйственное предприятие	Себестоимость молока, руб./л	Средняя продуктивность молока, кг	у2	х2	ху	ŷх	у- ŷх
у	х
	7,5		56,25		1477,5	6,96	0,54	7,2
	6,0		36,00		1008,0	6,25	-0,25	4,1
	5,2		27,04		702,0	5,44	-0,24	4,6
	8,3		68,89		2149,7	8,48	-0,18	2,1
	5,8		33,64		875,8	5,83	-0,03	0,5
	6,9		47,61		1283,4	6,69	0,21	3,1
	7,8		60,84		1817,4	7,84	-0,04	0,5
	7,0		49,00		1491,0	7,35	-0,35	5,0
	5,9		34,81		867,3	5,73	0,17	2,9
	8,0		64,00		1872,0	7,86	0,14	1,7
Сум-ма	68,4		478,09		13544,1	×	×	31,7

 

Разделим каждый член уравнений на коэффициенты при а (в первом уравнении на 10, во втором на 1923):

Вычтем из второго уравнения первое и найдем параметр b:

0,203 = 8,3b; b = 0,0245.

Подставив значение b в первое уравнение, найдем значение а:

а = 6,84 – 192,3 · 0,0245 = 2,13.

Параметры уравнения регрессии можно определить и по другим формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений: