Эффект Холла в полупроводниках

Явление возникновения в полупроводнике (или металле) с текущим по нему током поперечного электрического поля под действием магнитного поля называют эффектом Холла.

Предположим, что в пластинке полупроводника, находящейся в магнитном поле, идет ток, обусловленный движением только электронов (рис.1а). Пренебрежем пока статистическим разбросом электронов по скоростям. Тогда сила Лоренца будет смещать движущиеся электроны к левой грани пластинки полупроводника. Направление смещения определяется направлением силы Лоренца, т.е. векторным произведением с учетом знака носителей:

,

здесь q - элементарный заряд, v_n- скорость электрона, B - магнитная индукция.

В результате смещения движущихся электронов между боковыми гранями пластинки полупроводника возникает напряжение Холла (рис.1а).

В полупроводнике с электропроводностью p-типа при том же направлении тока вектор скорости дырок направлен противоположно вектору скорости электронов, знак носителей заряда также другой.

.

Поэтому сила Лоренца (v_p- скорость дырки) действует на дырки в ту же сторону, смещая их также к левой грани пластинки полупроводника (рис.1б). Полярность напряжения Холла при этом получается другой.

Накопление носителей заряда у боковой грани пластинки полупроводника прекратится, когда сила Лоренца уравновесится силой холловского электрического поля.

При перпендикулярном направлении напряженности магнитного поля к поверхности пластинки полупроводника условием такого динамического равновесия будет равенство:

 

, (1)

где Е_Х - напряженность поперечного (холловского) электрического поля.

Считая холловское электрическое поле однородным и учитывая геометрические размеры пластинки полупроводника, запишем для напряжения Холла (U_х) между боковыми гранями пластинки полупроводника с электропроводностью p-типа:

 

. (2)

Значение скорости дырок определим из формулы для тока:

 

. (3)

Здесь p - концентрация дырок, - их подвижность, h - толщина пластинки, S - площадь сечения пластинки.

Тогда

, (4)

где - коэффициент Холла для полупроводника с электропроводностью p-типа.

В действительности носители заряда в полупроводнике распределены по скоростям. Это распределение зависит от преобладающего механизма рассеяния носителей в конкретном полупроводнике. Поэтому более точное значение коэффициента Холла отличается от имеющегося в выражении (4) множителем А:

. (5)

Значение множителя А находится в диапазоне от 1 до 2 и зависит от механизма рассеяния носителей заряда. Так, для вырожденного полупроводника А = 1; для полупроводника с преобладающим рассеянием носителей на тепловых колебаниях кристаллической решетки А = 1.18; для полупроводника с преобладающим рассеянием на ионизированных примесях А = 1.93.

Для полупроводника с электpопpоводностью n-типа полярность напряжения Холла противоположна. Поэтому коэффициент Холла для такого полупроводника имеет другой знак:

, (6)

где n - концентрация электронов.

В полупроводниках с приблизительно равными концентрациями электронов и дырок (напpимеp, в собственных полупроводниках) расчет коэффициента Холла получается более сложным:

 

, (7)

 

где m_n, m_p - подвижности электронов и дырок соответственно.

После возникновения холловской напряженности электрического поля и установления динамического равновесия между силой Лоренца и силой холловского электрического поля все носители заряда, имеющие скорость v , будут двигаться по прямолинейным траекториям в соответствии с направлением внешнего электрического поля Е (pис.1в, г).

При этом наплавление вектора суммарного электрического поля

 

 

отличается от направления внешнего поля и вектора плотности тока на некоторый угол, который называют углом Холла. Тангенс угла Холла определяют по формуле:

. (8)

Холловская напряженность электрического поля в полупроводнике с электpпpоводностью p-типа с учетом (4) и (5):

(9)

 

Напряженность электрического поля в пластинке полупроводника от внешнего источника питания

 

, (10)

где - удельная проводимость.

Поэтому

. (11)

Очевидно, что для полупроводниковой пластинки с электропроводностью n-типа получится аналогичное соотношение между углом Холла, подвижностью электронов и значением магнитной индукции. При малых магнитных полях, и, следовательно, при малых углах Холла, можно считать:

. (12)

Таким образом, угол Холла пропорционален магнитной индукции, причем коэффициентом пропорциональности является подвижность носителей заряда:

, (13)

здесь угол Холла выражен в радианах (m -подвижность основных носителей заряда).