Общие принципы и фильтры, используемые при построении математических моделей в геологии

Над этой методологической проблемой автор работал много лет совместно с Б. Н. Еникеевым, внесшим значительный вклад в ее постановку и решение |40, 43]. Методологические принци­пы построения математических моделей в геологии сформули­рованы автором совместно с Б. Н. Еникеевым. Фильтры, кото­рые необходимо использовать при построении математических моделей, разработаны Б. Н. Еникеевым.

Принцип I («сложности»).Математические модели, используе­мые в нефтегазовой геологии, должны быть существенно много­мерными. Это обусловлено тем, что любой геологический объект является сложной системой. Правда, в каждой конкретной ситу­ации можно выделить какие-то характеристики, наиболее силь­но влияющие на изучаемое поведение геологического объекта — существенные характеристики именно для этой ситуации. Дру­гие характеристики можно не включать в математическую мо­дель. Но всегда следует помнить, что характеристики, не суще­ственные в одной ситуации, могут оказаться существенными в другой. Так, глинистость в большинстве случаев является суще­ственной характеристикой для модели, описывающей электри­ческое сопротивление продуктивных пород. Но встречается си­туация, когда глинистость не влияет на сопротивление породы¹, то есть ее можно исключить из этой модели.

Таким образом, при построении математических моделей, опи­сывающих поведение геологических объектов, нужно исследовать большой набор характеристик, чтобы выяснить, какие из них ока­жутся существенными в одних ситуациях и несущественными в других. А решить такую задачу можно лишь с помощью многомер­ных математических моделей.

Принцип 2 («теоретизма»).Многомерные модели геологических объектов должны быть соотнесены с современными представлени­ями о природе описываемых закономерностей, то есть опираться на современные причинно-следственные геологические, физические, физико-химические и другие модели этих закономерностей.

Сложная природа геологических объектов и неуклонное стремление многих исследователей быстрее перейти от «сухой теории» к «живой практике» нередко приводит к построению ма­тематических моделей на крайне шатких основаниях.

Принцип 3 («плюрализма»). В случае, когда существует не од­но, а несколько конкурирующих представлений о природе явлений, необходимо строить работу по синтезу моделей в рамках каждого из этих представлений, отслеживая область теоретической и эм­пирической применимости каждой модели. Этот принцип в своей основе закладывает множественность видения. Он предполагает параллелизм и открытость развития нескольких конкурирую­щих представлений одновременно.

Принцип 4 («частных типологических моделей»).Универсальные многомерные математические модели могут в некоторых частных случаях вырождаться в эффективные частные модели, зависящие от малого числа существенных факторов. Так, сложная многомер­ная модель, описывающая электрическое сопротивление горных пород как функцию открытой пористости, водонасыщенности, глинистости и минерализации пластовой воды, может в частных случаях вырождаться в модели, описывающие: а) электрическое сопротивление как функцию только открытой пористости (фор­мула Арчи-Дахнова) и б) электрическое сопротивление как функ­цию водонасыщенности породы. Кроме того, в определенной си­туации, как мы уже говорили, из числа существенных для данной модели характеристик породы исключается ее глинистость.

Суть данного принципа не сводится лишь к учету погрешностей, а существенно глубже. При описании сложных систем практически невозможно использовать детерминиро­ванные модели, хотя сами процессы, протекающие в этих систе­мах, могут иметь и детерминированный характер.

Принцип 5 («стохастичности»).Многомерные модели, использу­емые в нефтегазовой геологии, должны быть вероятностными. Ве­роятностная модель верна лишь в среднем. В ней переменные и параметры, используемые для описания связей между «входом» и «выходом», а также структура элементов и ограничений прин­ципиально точно не заданы.

Суть данного принципа не сводится лишь к учету погрешностей, а существенно глубже. При описании сложных систем практически невозможно использовать детерминиро­ванные модели, хотя сами процессы, протекающие в этих систе­мах, могут иметь и детерминированный характер.

Почему в нефтегазовой геологии должны использоваться глав­ным образом вероятностные модели]

Первая причина — неполное описание изучаемых процессов и яв­лений (неполное описание поведения геологических объектов). Практически мы никогда не можем у геологического объекта — сложной системы — измерить все существенные с точки зрения изучаемой закономерности (изучаемого поведения геологического объекта) характеристики. Поэтому и модель, включающая не все существенные характеристики, становится верной лишь в сред­нем, то есть вероятностной.

Вторая причина вероятностного характера моделей — погреш­ность аппроксимации модели при ее изучении по выборочным данным. Выбирая ту или иную модель, мы выбираем приближен­ное математическое описание изучаемой закономерности (напри­мер, аддитивную функцию, описывающую плотность породы в зависимости от плотности и объемных долей ее компонент). Ис­тинный характер закономерности нам не известен. Чем более гру­бой является наша модель, тем выше погрешности аппроксима­ции, придающие построенной модели вероятностный характер.

Третья причина — погрешности в оценках параметров моде­лей. Чаще всего эти параметры находятся не теоретически, а статистически, по выборочным данным.

И, наконец, четвертая причина — использование (при реше­нии практически любой задачи нефтегазовой геологии) характе­ристик объектов различных уровней исследования. Когда мы решаем какую-то задачу, то всегда имеем дело не с одним объек­том исследования, а с иерархической системой таких объектов. Например, при подсчете запасов нефти и газа система объектов включает следующие уровни: образец керна, однородный по данным ГИС интервал разреза в скважине, «геологический пласт» — объект подсчета запасов в скважине, тот же объект в пределах выбранной площади, залежь, месторождение. В рас­смотренной системе объектов существуют связи «по горизонта ли» и «по вертикали». Первые представляют собой связи между объектами одного уровня исследования, например связи между характеристиками геологического пласта в разных скважинах. Вторые отражают связи между объектами разных уровней ис­следования, например связь между характеристиками (откры­той пористостью) однородного интервала разреза и извлечен­ных из него образцов керна. Ясно, что такая связь определяется характером распределения характеристик (открытой пористос­ти) образцов керна, а значит, может быть описана только веро­ятностной моделью. Очевидно, что и связи «по горизонтали», изучаемые по дискретному множеству данных, тоже будут опи­сываться вероятностными моделями.

Принцип 6 («системной организации»).При решении задач комплексной количественной интерпретации разнородных данных (геологических, геофизических и др.) необходимо использовать сис­темы многомерных интерпретационных моделей (описывающих взаимосвязи между измеряемыми и оцениваемыми свойствами гео­логических объектов).

Итак, мы рассмотрели шесть методологических принципов построения математических моделей в геологии. Следующий вопрос, на котором мы хотим остановиться — использование априорной информации при построении математических моде­лей в нефтегазовой геологии. Многочисленными исследования­ми было показано, что чем более полно удается использовать априорную информацию, тем более эффективной и простой оказывается выполняемая формализация (алгоритм, модель) ге­ологической задачи. Мы рассмотрим вопрос об использовании априорной информации с помощью единообразных априорных ограничений (фильтров) на структуру математических моделей. Использование априорных критериев, специфичных для каж­дой предметной области, неоднократно предлагалось в разных областях знания. Систематически практиковал использование «физического смысла», анализа размерностей и предельных пе­реходов в геофизике В. Н. Дахнов [11]. Обобщение совокупнос­ти этих соображений реализовано в виде «системы фильтров», как особого методологического приема работы и впоследствии широко применялось автором совместно с Б. Н. Еникеевым при решении ряда задач геологии и геофизики [41].

1.Фильтр мощности.Наиболее важное и очевидное ограниче­ние касается набора информационных признаков или перемен­ных. Используемая модель должна отражать все наиболее сущест­венные факторы, влияющие на описываемую закономерность. Если же какие-либо из этих факторов не учитываются, число степеней свободы модели будет меньше, чем необходимо, и поэтому она не может быть применена к широкому классу объектов.

Применение этого фильтра легко рассмотреть на основе сооб­ражений балансовой модели нефтегазонакопления. Согласно этой модели, ее характеристики должны отражать процессы (факторы) генерации, миграции, аккумуляции и консервации уг­леводородов. Ясно, что модели, игнорирующие какие-то из этих факторов, будут неполными с позиции фильтра мощности.

2. Фильтр тождества.Модель должна переходить в вырожден­ных случаях в модели специального вида (какие-то характеристики модели принимают особые, обычно крайние значения из диапа­зона их приемлемого значения). Так, модель электрического сопротивления продуктивных отложений должна в частных слу­чаях переходить в модели зависимости сопротивления от откры­той пористости и водонасыщенности.

3. Фильтр неравенства.Модель должна отражать ограничения области ее применимости. Примером подобных ограничений могут служить неравенства, фиксирующие не отрицательность запасов углеводородов, минимальные и максимальные значе­ния характеристик продуктивных отложений: пористости, неф-
тегазонасыщенности и др.

4. Фильтр устойчивости.Малым вариациям значений аргумен­тов и параметров модели должны соответствовать малые вариации прогнозируемой характеристики Y (прогнозируем х характерис­тик). Данный фильтр, по сути, означает, что модель не допускает «катастроф структуры», то есть ведет себя достаточно гладко.

Выводы

1. Все геологические объекты являются сложными системами. Для их изучения и, в частности, для построения математи­ческих моделей необходимо использовать методологию мно­гофакторного эксперимента. Главная особенность этой ме­тодологии заключается в том, что при описании какой-либо закономерности нужно сначала учесть совместное влияние всех существенных факторов на эту закономерность, а затем вычленить влияние какого-то одного фактора, закрепляя все остальные факторы на фиксированных уровнях. Иными сло­вами, математические модели геологических закономерностей и, в частности, модели петрофизических взаимосвязей должны быть существенно многомерными.

2. Математические модели петрофизических взаимосвязей должны быть вероятностными, то есть описывать петрофизические взаимосвязи лишь «в среднем».

3. Для комплексной интерпретации геологических, геофизи­ческих и других данных и, в частности, для комплексной интерпретации данных ГИС необходимо' использовать не от­
дельные математические модели, а их системы.