П. 3. Параметрическое задание линий в ДСК и ПСК

Системы координат на плоскости. Понятие об уравнении линии на плоскости.

П. 1. Декартовая система координат (ДСК)

Декартовая система координат (ДСК) на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных лучей – осей (Ох) и (Оy), одинаковой по обеим осям единицы масштаба и начала координат – точки О – точки пересечения осей.

Каждая точка М на плоскости (Оху) имеет координаты х и у и, наоборот, каждому набору координат отвечает точка.

Определение. Уравнение F(x, y) = 0 определяет на плоскости (Оху) некоторую линию l, представляющую собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. И наоборот.

Таким образом, линия задается уравнением между координатами, и обратно.

Обычно уравнение разрешено относительно переменной y: y = f(x).

Примеры линий: y = x – уравнение прямой, x² + y² = 9 – уравнение окружности.

П. 2. Полярная система координат (ПСК)

Полярная система координат (ПСК) на плоскости определяется заданием некоторой точки О – полюса, луча (ОР) – полярной оси и единицы масштаба.

Положение любой точки М в ПСК характеризуется координатами ρ и φ и, наоборот, каждому набору координат отвечает точка.

ρ – полярный радиус – расстояние от полюса О до точки М, причем ρ ≥ 0.

φ – полярный угол – угол, откладываемый от полярной оси против часовой стрелки до луча (ОМ), причем 0 ≤ φ ≤ 2π.

Связь декартовых координат с полярными.

Совместим системы координат так, чтобы ось (Ох) совпадала с полярной осью (ОР), а начало координат совпадало с полюсом.

Декартовые координаты точки М – х, у. Полярные координаты этой же точки – ρ, φ.

Из прямоугольного треугольника следует:

(1) (2)

(3)

определяет два угла: φ и φ + π, формулы (3) уточняют, какой из них рассматривать.

Определение. Уравнение Ф(ρ,φ) = 0 определяет на плоскости некоторую линию l, представляющую собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. И наоборот.

Обычно уравнение разрешено относительно переменной ρ: ρ = f(φ).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовой системе координат F(x, y) = 0 к ее полярному уравнению Ф(ρ,φ) = 0 нужно подставить вместо х и у формулы (1). Обратный переход от Ф(ρ, φ) = 0 к F(x, y) = 0 получается с помощью формул (2) и (3).

Пример 1. Найти полярное уравнение прямой х = 1.

Решение.х = 1 – уравнение прямой.

Пример 2.Найти декартовое уравнение кривой , построить ее в ПСК.

П. 3. Параметрическое задание линий в ДСК и ПСК.

Иногда обе координаты х, у или ρ, φ оказываются заданными как функции некоторой третьей переменной t, являющейся параметром, определяющей положение точки на плоскости (когда t меняется, точка перемещается, описывая некоторую линию).

Параметрическое уравнение линии в ДСК: или

Параметрическое уравнение линии в ПСК: или

Чтобы перейти к уравнению линии в общей форме F(x,y) = 0 или Ф(ρ,φ) = 0 надо из двух параметрических уравнений исключить параметр t, например, в ДСК в первом уравнении выразить параметр t через х и подставить во второе уравнение. Но это не всегда целесообразно.

Графики строят путем задания х (ρ), получая значения параметра t, затем с помощью известного t, получая значение у(φ).

Пример. Составить параметрические уравнения кривой в ПСК и ДСК.

Решение. Пусть полярный угол φ будет параметром t

1) ПСК. Параметрическое уравнение кривой имеет вид: , где , так как .

2) ДСК. .

.

Тогда параметрическое уравнение кривой имеет вид: